2017年甘肃天水一中2014级第一学期第二次考试
数学（理科）试题
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知A={x∈N|x≤6},
，则A∩B=（ ）
A.{3, 4, 5} B.{4, 5, 6} C.{x|3 < x ≤6} D.{x|3≤x <6}
2．已知复数
为纯虚数，那么实数
（ )
A.
B.
C.
D.
3．设函数
,
（ )
A．3 B．6 C．9 D．12
4．已知角
的终边上有一点
，则
的值为（ ）
A．1 B．
C．-1 D．-4
5．若两个等差数列
和
的前
项和分别是
和
，已知
＝
，则
＝（）
A．7 B. 
C. 
D. 
6．函数
的图象大致为（ )
7．若
，
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D． 
8．设
满足约束条件
，
，
，若目标函数
的最大值为12，则
的最小值为（ ）
A.5 B.6 C.
D.
9．若实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2 C．
D．4
10．若不等式
对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若等差数列
的前
项和
，则
的最小值为（ ）
A．
B.8 C.6 D.7
12．定义
为
个正数
的“均倒数”，已知数列
的前
项的“均倒数”为
，又
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知实数x，y满足
，则
的最小值是 .
14．已知数列
中，
,
,则数列
的通项公式
．
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15．把正整数排列成如下图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列
，若an=2015，则
_________．
16．下列命题中正确的有 .
①常数数列既是等差数列也是等比数列；
②在△ABC中，若
,则△ABC为直角三角形；
③若A,B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1;
④若Sn为数列{
}的前n项和，则此数列的通项
=Sn-Sn-1（n＞1）.
三、解答题（共70分）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求
的值
（2）若
，b＝2，求△ABC的面积S.
18. 已知函数
，当
时，函数
的图象关于
轴对称，数列
的前
项和为
，且
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
．
19．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1)证明PA∥平面EDB；
（2)证明PB⊥平面EFD；
（3)求二面角C－PB－D的大小.
20．已知数列
是递增的等比数列，满足
，且
是
、
的等差中项，数列
满足
，其前
项和为
，且
.
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）数列
的前
项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求实数
的取值范围.
21．已知函数
（
）.
（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）设
，当
时，若对任意
，存在
，使
，求实数
的取值范围.
22.《选修4—4：坐标系与参数方程》
已知直线l的参数方程为
（t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos（θ－4(π))．
（1)求直线l的倾斜角和曲线
的直角坐标方程；
（2)若直线l与曲线C交于A，B两点，设点
,求
.
23．选修4—5：不等式选讲
已知函数 
（Ⅰ)若不等式
的解集为
，求实数
的值；
（Ⅱ)在（Ⅰ)的条件下，若
，使得
，求实数
的取值范围．
参考答案：
选择题
BCCAD DBCAB DC
填空题
13. 2 14. 
15. 1030 16.②③
三、解答题
17．（1）
；（2）
。
18．（1）
；（2）
.
19．（1)证明 连接AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.
而EO?平面EDB且PA?平面EDB， ∴PA∥平面EDB.
2)证明 ∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，
∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.
而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①
同样，由PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD， 得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E， ∴PB⊥平面EFD.
3)解 由（2)知，PB⊥DF. 故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.
由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB. 设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝
a，
PB＝
a，PC＝
a，DE＝
a，在Rt△PDB中，DF＝
a.
在Rt△EFD中，sin∠EFD＝
，∴∠EFD＝60°. ∴二面角C－PB－D的大小为60°.
20．（1）
，
；（2）
.
（2）∵
，∴
.
不等式
化为
，∵
，
∴
对一切
恒成立.
而
，
当且仅当
即
时等号成立，∴
21．（1）
的定义域为
，
当
时，由
，∴
的单调增区间为
由
，∴
的单调减区间为
，
当
时，由
，∴
的单调增区间为
，
由
，∴
的单调减区间为
，
当
时，由
，∴
的单调增区间为
，
由
和
，∴
的单调减区间为
和
.
当
时，
，∴
的单调减区间为
，
.综上所述当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
.
当
时，
的单调增区间为
，单调减区间为
和
，
当
时，
的单调减区间为
.
（2）用
，而
，对
分三种情况：
①
无解；
②
；
③
.
综上：∴
的取值范围为
.
22．（1) 
，（x－
)2＋（y－
)2＝1 （2) 
23．（ Ⅰ)
（Ⅱ)
