2017年甘肃高考数学基础提升训练（十）
一、选择题
1．设x，y∈R，且2y是1＋x和1－x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去 轴上点的（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆
2．已知△ABC的顶点A（0，－4），B（0，4），且4(sinB－sinA)＝3sinC，则顶点C的轨迹方程是 （ ）
A．x29－y27＝1(x＞3) B．x27－y29＝1(x＞7) C．y29－x27＝1(y＞3) D．y27－x29＝1(y＜－7)
3．现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A．10平方分米 B．20平方分米 C．40平方分米 D．41平方分米
4．设A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆x225＋y29＝1上三个不同的点，则"|AF|，|BF|，|CF|成等差数列"是"x1＋x2＝8"的 （ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要
5．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量→v＝
（ ）
A．（2，－2） B．（1，1） C．（－3，2） D．（1，12）
6．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值为 （ ）
A．33 B．32 C．22 D．63
7．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线 与椭圆相交于A、B两点。若∠AF1F2＝60 ，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为 （ ）
A．3＋1 B．3－1 C．2－3 D．4－3
8．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P形成的图形是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
9．如图，P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，F是椭圆的左焦点，且→OQ＝12(→OP＋→OF)，|OQ→|＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为 （ ）
A．6 B．4
C．3 D．52
10． (理科)设x1，x2∈R，a＞O，定义运算"*"：x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥O，则动点P(x，x*a)的轨迹方程为 （ ）
A．y2＝4ax B．y2＝4ax(y≥0) C．y2＝－4ax D．y2＝－4ax(y≥0)
11．设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分）是( )
A． B． C． D．
12．在平面直线坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝ （ ）
A．45 B．－45 C．54 D．－54
二、填空题
13．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆x28＋y24＝1的右焦点重合，则 的值为_____________.
14．若点(1，1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是_______.
15．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线 与椭圆相交于A、B两点.若∠AF1F2＝60 ，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为______．
16．设A(1，0)，点C是曲线y＝1－x2(0≤x≤1)上异于A的点，CD⊥y轴于D，∠CAO＝θ(其中O为原点)，将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数f(θ)，则f(θ)＝_________.
三、解答题
17．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求→PA·→PB的取值范
围．
18．(08届麻城博达学校高三数学综合测试四)设⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圆心在抛物线y＝x2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a1，a2，…，an，已知a1＝14，a1＞a2＞…＞an＞0，⊙Ck(k＝1，2，…n)都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切(Ⅰ)求由a1，a2，…，an构成的数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：a21＋a22＋…＋a2n＜14.
19．（08年泰兴市3月调研）已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数a，b间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段PQ长的最小值；(Ⅲ)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程.
20．已知定点A(－2，－4)，过点A作倾斜角为45 的直线l，交抛物线
y2＝2px(p＞0)于B、C两点，且|BC|＝210．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程；(Ⅱ)已知动直线l过点P(3，0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l 被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.
22．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.(Ⅰ)求此时椭圆C的方程；(Ⅱ)设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，33）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．D 【解析】 由题意得(2y)2＝(1＋x)(1－x)，即x2＋4y2＝1.
2．C 【解析】 由条件c＝|AB|＝8.由正弦定理：4(b－a)＝3c＝24，b－a＝6，即|CA|－|CB|＝6.点C的轨迹是焦点在y轴的双曲线上支，∵a ＝3，c ＝4，b ＝7，其方程y29－x27＝1(y＞3).
3．C 【解析】 设椭圆方程为x225＋y216＝1，P(5cos ，4sin )，Q(－5cos ，4sin )，R(5cos ，－4sin )是矩形的三顶点，则S矩形＝|10cos |·|8sin |＝40|sin2 |≤40.
4．S 【解析】 a＝5，b＝3，c＝4，e＝45，F(4，0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－45x1，|BF|＝5－45×4＝95，|CF|＝5－45x2，故|AF|，|BF|，|CF|成等差数列 (5－45x1)＋(5－45x2)＝
2×95 x1＋x2＝8.
5．A 【解析】 圆C：(x－1) 2＋(y－1)2＝2，圆心C(1，1)，半径r＝2，直线l：kx－y－2k＋2＝0，由直线与圆相切的条件知|k－1－2k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－1.
6．A 【解析】 过P作抛物线的准线的垂线，垂足为H，则抛物线准线为x＝－3c，|PF1||PF2|＝e，又|PF2|＝|PH|，∴|PF1||PH|＝e，∴x＝－3c也为椭圆E的准线．∴－a2c＝－3c e＝33．
7．B 【解析】 →AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F,∵∠AF1F2＝60 ,∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1.
8．椭圆 【解析】 |PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R(半径)＞|OF|，根据椭圆定义知P形成的图形
是以O、F为焦点的椭圆.
9．D 【解析】 由→OQ＝12(→OP＋→OF)，得Q是PF的中点.又∵|OQ→|＝4，所以P点到右焦点
F’的距离为8，∴|PF|＝2×5－8＝2，又|PF|d＝e＝ca＝45(d表示P到椭圆左准线的距离)，∴d
＝52.
10．B 【解析】 设P(x，y)，则y＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax，即y2＝4ax(y≥0).
11．A 【解析】 由构成三角形的条件知 x＋y＞1－x－yx＋1－x－y＞yy＋1－x－y＞x，即 2x＋2y＞12y＜12x＜1，易知选A.
12．C 【解析】 由双曲线方程及定义|BC|＋|AB|＝10，|AC|＝8，根据正弦定理知sinA＋sinCsinB
＝|BC|＋|AB||AC|＝54.
二、填空题
13．4 【解析】 抛物线的焦点为(p2，0)，椭圆的右焦点为(2，0)，则由p2＝2，得p＝4.
14．2＋2 【解析】 d＝|cosα＋ysinα|＝|2sin(α＋ 4)－2|，当sin(α＋ 4)＝－1时，d的最大值是2＋2.
15．3－1 【解析】 →AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F，∵∠AF1F2＝60 ，∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1.
16．－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈( 4， 2) 【解析】 根据条件知∠COA＝180 －2θ，且θ∈( 4， 2)，则点C(cos(180 －2θ)，sin(180 －2θ))，即C(－cos2θ，sin2θ)，则|AC|＋|CD|＝(1＋
cos2θ)2＋sin22θ－cos2θ＝－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈( 4， 2).
三、解答题
17．【解析】 (Ⅰ)依题知圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝41＋3＝2，
∴圆O的方程为x2＋y2＝4．
(Ⅱ)不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，x1＜x2，由x2＝4即得A(－2，0)，B(2，0)，
设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得
(x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2，
→PA·→PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，
由于点P在圆O内，故 x2＋y2＜4x2－y2＝2，由此得y2＜1，
又∵y2≥0，所以→PA·→PB的取值范围为 －2，0 ．
18．【解析】 (1)设相邻两圆心为Ck(xk，x2k)，Ck 1(xk，x2 k 1)，相应的半径为rk，rk 1，则
rk＝x2k，rk 1＝x2 k 1，rk＞rk 1，
如图，作Ck 1Bk⊥AkCk于Bk，则|CkCk 1|2－|CkBk|2＝|AkAk 1|2，
即(rk＋rk 1)2－(rk－rk 1)2＝(xk－xk 1)2，∴1xk 1－1xk＝2，
∴{1xk}是首项为4，且公差为2的等差数列，∴xk＝12(k＋1).
(2)∵1(k＋1)2＜1k(k＋1)＝1k－1k＋1，
∴x21＋x22＋…＋x2n＝14[122＋132＋1(n＋1)2]＜14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＜14.
19．【解析】 （1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.
又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a＋b－3＝0.
(Ⅱ)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.
∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45，
故当a＝65时，|PQ|min＝255，即线段PQ长的最小值为255.
(Ⅲ)设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，
∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1.
而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95，
故当a＝65时，|PQ|min＝355，此时b＝－2a＋3＝35，R min＝355－1，
得半径取最小值⊙P的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.
20．【解析】 (Ⅰ)直线l方程为y＝x－2，将其代入y2＝2px，并整理，得
x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，
∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，
设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，
∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，
∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴抛物线方程y2＝2x．
(Ⅱ)假设在抛物线y2＝2x上存在点D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，
记线段BC中点为E(x0,y0)，则|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1，
当p＝1时，①式成为x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，
∴点D(x3,y3)应满足 y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得 x3＝2y3＝2或 x3＝8y3＝－4．
∴存在点D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．
21．【解析】 (Ⅰ)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点M(1，2)坐标代入方程得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F1（－1，0），F2（1，0），所以c＝1，c ＝1，
对于椭圆，2a＝|MF1|＋|MF2|＝(1＋1)2＋22＋(1－1)2＋22＝22＋2，所以a＝1＋2，
所以a2＝(1 2)2＝3＋22，所以b2＝a2－c2＝2＋22，所以椭圆方程为x23＋22＋y22＋22＝1，
对于双曲线，2a ＝||MF1|－|MF2||＝22－2，所以a ＝2－1，所以a 2＝3－22，
所以b ＝c 2－a 2＝22－2，所以双曲线方程为x23－22－y222－2＝1，
(Ⅱ)设AP的中点为G，l 的方程为x＝t，以AP为直径的圆交l 于D、E两点，DE中点为H，
令A(x1，y1)，所以G(x1＋32，y12)，所以|DG|＝12|AP|＝12(x1－3)2＋y12，
|GH|＝|x1＋32－t|＝12|(x1－2t)＋3|，
所以|DH|2＝|DG|2－|GH|2＝14[(x1－3)2＋y12]－14[(x1－2t)＋3]2＝(t－2)x1－t2＋3t，
当t＝2时，|DH|2＝－4＋6＝2为定值，所以|DE|＝2|DH|＝22为定值，此时l 的方程为x＝2.
22．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，故该椭圆中a＝2b＝2c，即椭圆方程可为x2＋2y2＝2b2.
设H（x,y）为椭圆上一点，则
|HN|2＝x2＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18，其中－b≤y≤b，
若0＜y＜3，则y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9，
由b2＋6b＋9＝50，得b＝－3±52(舍去)，
若b≥3，当y＝－3时，|HN|2有最大值2b2＋18.
由2b2＋18＝50，得b2＝16，
故所示椭圆的方程为x232＋y216＝1.
（Ⅱ）设E(x1，y1)，F(x2，y2)，Q(x0，y0)，则
由x1232＋y1216＝1与x2232＋y2216＝1二式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)32－(y1＋y2)(y1－y2)16＝0，
又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，且k＝y1－y2x1－x2，则x0＋2ky0＝0，
又直线PQ⊥直线m，∴直线PQ方程为y＝1kx＋33，
将点Q(x0，y0)代入上式得，y0＝1kx0＋33……④，
由③④得Q(233k，－33)Q，
而Q点必在椭圆内部，x0232＋y0216＜1，由此得k2＜472，
又k≠0，∴－942＜k＜0或0＜k＜942，
故当k∈(－942，0)∪(0，942)时，E、F两点关于点P、Q的直线对称.
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| 6 | 2016年高考新课标I理科数学试题答案 (2016-06-07) |
| 7 | 2016年全国新课标I理科数学试卷（word版） (2016-06-07) |
| 8 | 2016年高考全国卷文科数学试题及答案 (2016-06-07) |
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| 13 | 2016年新课标I理科数学试卷答案解析 (2016-06-08) |
| 14 | 2016年新课标Ⅱ文科数学答案解析 (2016-06-08) |
| 15 | 2016年高考新课标I文科数学答案解析 (2016-06-08) |
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| 17 | 2016年高考全国卷理科数学答案 (2016-06-08) |
| 18 | 2016年高考新课标I文科数学试题及答案 (2016-06-08) |
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| 20 | 2016年高考全国卷理科数学试题解析（word版） (2016-08-12) |
