2017年甘肃高考数学基础提升训练（六）
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2＝ （ ）
A．9 B．－9 C．1 D．－1
2．函数f(x)＝3(1)x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为（ ）
A．3(7) B．1 C．3(1) D．－1
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为 （ ）
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜2(1)
4．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为 （ ）
A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
5．函数y＝f(x)在定义域(－2(3)，3)内可导，其图像如图所示.记y＝f(x)的导函数为y＝f¢(x)，则不等式f¢(x)≤0的解集为 （ ）
A．[－3(1)，1]∪[2，3)
B．[－1，2(1)]∪[3(4)，3(8)]
C．[－2(3)，2(1)]∪[1，2)
D．(－2(3)，－3(1)]∪[2(1)，3(4)]∪[3(4)，3)
6．设函数f(x)＝sin(ωx＋p)－1(ω＞0)的导数f¢(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是 （ ）
A．x＝p B．x＝p C．x＝p D．x＝p
7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f¢(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 （ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是（ ）
A．[0，2(1)] B．(－∞，0)∪[2(1)，＋∞)
C．[，1] D．[，]
8．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．(p，p2(3)) B．(π，2π)
C．(p2(3)，p3(5)) D．(2π，3π)
11．已知对任意实数
，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f¢(x)＞0，g¢(x)＞0，则x＜0时 （ ）
A．f¢(x)＞0，g¢(x)＞0 B．f¢(x)＞0，g¢(x)＜0
C．f¢(x)＜0，g¢(x)＞0 D．f¢(x)＜0，g¢(x)＜0
12．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf¢(x)＞－f(x)恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A．af(b)＞bf(a) B．af(a)＞bf(b) C．af(a)＜bf(b) D．af(b)＜bf(a)
二、填空题
14．已知函数f(x)＝3(1)x3－2(a)x2＋2x＋1，且x1，x2是f(x)的两
个极值点，0＜x1＜1＜x2＜3，则a的取值范围_________.
15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1，2]上是减函数，那么b＋c最大值为___________.
16．曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为____________.
三、解答题
17．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)讨论f(x)的极值.
18．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.
19．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y 7=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
20．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.
（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
22．已知函数f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的图象在x＝2处的切线互相平行.
(Ⅰ)求t的值；
(Ⅱ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a的取值范围.
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一、选择题
1．D 【解析】f¢(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.
2．C 【解析】∵f¢(x)＝x2＋a，又f¢(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝3(1)－1＋1＝3(1).
3．B 【解析】f¢(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a＞0，且f¢(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，则∈(0，1)，∴0＜a＜1.
4．B 【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴ ( )3a＋2b＝－3(3a×22＋2b×2＝0)，即 ( )b＝－3(a＝1)，令f¢(x)＝3x2－6x＜0，则0＜x＜2，即选B.
5．A 【解析】由条件f¢(x)≤0知，选择f(x)图象的下降区间即为解.
6．A 【解析】f¢(x)＝ωcos(ωx＋p)，则ω＝3，则由3x＋p＝2kπ＋p，即x＝3(2)kπ＋p(k∈Z)，由此可知x＝p为f(x)的图象的一条对称轴.
7．A 【解析】f¢(x)的图象与x轴有A、B、O、C四个交点. 其中在A、C处f¢(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A、C处应取得极大值；在B处f¢(x)的值由负变正，相应的
函数值则由减变增，故f(x)在点B处应取得极小值.点O处f¢(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B是唯一的极值点.
8．C 【解析】因为u＝logax(0＜a＜1)在（0，＋∞）上是减函数，根据函数的单调性的复合规律得0≤logax≤2(1)，即≤a≤1，故选C.
8．B 【解析】y¢＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，则xsinx＜0，各选项中x均为正，只须sinx＜0，故x∈(π，2π).
9．B 【解析】∵f¢(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又a≠0，∴f′(x)的图象为第三个，知f¢(0)＝0，故a＝－1，f(－1)＝－3(1)＋a＋1＝－3(1).
11．B 【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当x＜0时，f¢(x)＞0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即
当x＜0时，g¢(x)＜0.
12．B 【解析】令F(x)＝xf(x)，则F¢(x)＝xf¢(x)＋f(x)，由xf¢(x)＞－f(x)，得xf¢(x)＋f(x)＞0，即则F¢(x)＞0，所以f(x)在R上为递增函数.因为a＞b，所以af(a)＞bf(b).
二、填空题
13．4 【解析】根据导函数对应方程f¢(x)＝0的根与极值的关系及极值的定义易得结果.
14．3＜a＜3(11) 【解析】f¢(x)＝x2＋ax＋2，由题知： ( )¢¢＝9－3a＋2＞0(1＝1－ax＋2＜0)，解得3＜a＜3(11).
15．－2(15) 【解析】f¢(x)＝3x2＋2bx＋c ∵f(x)在[－1，2]上减，∴f¢(x)在[－1，2]上非正.
由 ( )¢¢≤0(－1≤0)，即 ( )12＋4b＋c≤0(3－2b＋c≤0)，∴15＋2(b＋c)≤0，∴b＋c≤－2(15).
16．16(5) 【解析】设直线L平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y＝－x－1的距离，y¢＝8x3＝－1，∴x0＝－2(1)，x0＝8(1)，∴d＝2(1)8(1)2(＋1|)2(＋1|)＝16(5).
三、解答题
17．【解】 由已知得f¢(x)＝6x[x－(a－1)]，令f¢(x)＝0，解得 x1＝0,x2＝a－1，.
（Ⅰ）当a＝1时，f¢(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增
当a＞1时，f¢(x)＝6x[x－(a－1)]，f¢(x),f(x)随x的变化情况如下表：
|
x |
(－∞,0) |
0 |
(0,a－1) |
a－1 |
(a－1,＋∞) |
|
f¢(x) |
＋ |
0 |
|
0 |
|
|
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
18．【解】 (Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f¢(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),
∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f¢(1)＝0，∴a＝2；
(Ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；
②当a≠0时，f¢(x)＝3ax(x－a(2))，由f¢(x)＝0，得x＝0，x＝a(2)
当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f¢(x)＞0，∴a＞0符合题意；
当a＜0时，当x∈(a(2)，0)时，由f¢(x)＞0，得a(2)≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；
综上所述，a≥－2.
19．【解】（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d＝2，则
f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f¢(x)＝3x2＋2bx c，
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y 7=0，知-6-f(-1) 7=0，即f(-1)=1，且f¢(-1)=6，
∴ ( )-1 b-c 2=1(3-2b c=6)，即 ( )b-c=0(2b-c=3)，解得b=c=-3，
故所求的解析式是f(x)＝x3-3x2-3x 2.
（Ⅱ）f¢(x)＝3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，
解得x1=1-，x2=1 ，当x＜1-或x＞1 时，f¢(x)＞0；
当1-＜x＜1 时，f¢(x)＜0，
故f(x)＝x3-3x2-3x 2在(-∞，1-)内是增函数，在(1-，1 )内是减函数，在(1 ， ∞)内是增函数.
20．【解】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(1)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．
(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]．
21．【解】（I）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，
∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，
由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).
（II）方程f(x)＋x(37)＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，
设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h¢(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，
当x∈(0，3(10))时，h¢(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(3(10)，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)是增函数，
∵h(3)＝1＞0，h(3(10))＝－27(1)＜0，h(4)＝5＞0，
∴方程h(x)＝0在区间(3，3(10))、(3(10)，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内
没有实数根，
所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋x(37)＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个
不同的实数根.
22．解析：(Ⅰ)f¢(x)＝x(1)logae＋2，g¢(x)＝2x＋t－2(4)logae＋2，
∵函数f(x)和g(x)的图象在x＝2处的切线互相平行，
f¢(2)＝g¢(2)，∴2(1)logae＝t＋2(4)logae，t＝6.
(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝logax(2x＋42)，x∈[1，4]，
令h(x)＝x(2x＋42)＝4x＋x(16)，x∈[1，4]，∴h¢(x)＝4－x2(16)＝x2(x＋2)，x∈[1，4]，
∴当1≤x＜2时，h¢(x)＜0，当2＜x≤4时，h¢(x)＞0，
∴h(x)在[1，2)是单调减函数，在(2，4]是单调增函数，
∴h¢(x)min＝h(2)＝32，h¢(x)max＝h(1)＝h(4)＝36，
∴当0＜a＜1时，有F(x) min＝loga36，当a＞1时，有F(x) max＝loga32.
∵当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，∴F(x) min≥2，
∴满足条件的a的值满足下列不等式组 ( )loga36≥2(0＜a＜1) ①，或 ( )loga32≥2(a＞1) ②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a≤4，
综上所述，满足条件的
的取值范围是：1＜a≤4.
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