2017年甘肃高考数学基础提升训练（四）
一、选择题
1．已知a(→)＝(cos40°，sin40°)，b(→)＝(cos20°，sin20°)，则a(→)·b(→)＝ （ ）
A．1 B．2(3) C．2(1) D．2(2)
2．将函数y＝2sin2x－2(π)的图象按向量(2(π)，2(π))平移后得到图象对应的解析式是 （ ）
A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x
3．已知△ABC中，＝，＝，若·＜0，则△ABC是 （ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形
4．设a(→)＝(2(3),sina)，b(→)＝(cosa,3(1))，且a(→)∥b(→)，则锐角a为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．已知a(→)＝(sinθ，)，b(→)＝(1，)，其中θ∈(π，p2(3))，则一定有 （ ）
A．a(→)∥b(→) B．a(→)⊥b(→) C．a(→)与b(→)夹角为45°D．|a(→)|＝|b(→)|
6．已知向量→(a)＝(6，－4)，→(b)＝(0，2),→(c)＝→(a)＋l→(b)，若C点在函数y＝sin12(π)x的图象上,实数l＝ （ ）
A．2(5) B．2(3) C．－2(5) D．－2(3)
7．由向量把函数y＝sin(x＋p6(5))的图象按向量a(→)＝(m，0)(m＞0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为 （ ）
A．p B．p C．p3(2) D．p6(5)
8．设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是 （ ）
A． B． C．3 D．2
9．若向量a(→)＝(cosa,sina)，b(→)＝(cosb,sinb)，则a(→)与b(→)一定满足 （ ）
A．a(→)与b(→)的夹角等于a－b B．a(→)⊥b(→)
C．a(→)∥b(→) D．(a(→)＋b(→))⊥(a(→)－b(→))
10．已知向量a(→)＝(cos25°,sin25°)，b(→)＝(sin20°,cos20°)，若t是实数，且u(→)＝a(→)＋tb(→)，则|u(→)|的最小值为 （ ）
A． B．1 C．2(2) D．2(1)
11．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP(→)＝OA(→)＋l(AB(→)＋AC(→))，l∈(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
12．对于非零向量a(→)我们可以用它与直角坐标轴的夹角a,b(0≤a≤p,0≤b≤p)来表示它的方向，称a,b为非零向量a(→)的方向角，称cosa,cosb为向量a(→)的方向余弦，则cos2a＋cos2b＝（ ）
A．1 B．2(3) C．2(1) D．0
二、填空题
13．已知向量m(→)＝(sinq，2cosq)，n(→)＝(,－2(1)).若m(→)∥n(→)，则sin2q的值为____________．
14．已知在△OAB(O为原点)中，OA(→)＝(2cosa，2sina)，OB(→)＝(5cosb，5sinb)，若OA(→)·OB(→)＝－5，则S△AOB的值为_____________.
15．将函数f(x)＝tan(2x＋p)＋1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a＝
____________.
16．已知向量＝(1，1)向量与向量夹角为4(3π)，且·＝－1.则向量＝__________．
三、解答题
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若AB(→)·AC(→)＝BA(→)·BC(→)＝k(k∈R).
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若c＝，求k的值．
18．已知向量m(→)＝(sinA,cosA)，n(→)＝(,－1)，m(→)·n(→)＝1，且
为锐角.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
19．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量m(→)＝(1，2sinA)，n(→)＝(sinA，1＋cosA)，满足m(→)∥n(→)，b＋c＝a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋p)的值．
20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.
（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且|AC(→)|＝|BC(→)|，求角α的大小；
（Ⅱ）若AC(→)⊥BC(→)，求1＋tanα(2sin2α＋sin2α)的值．
21．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，m(→)＝(2b－c，a)，n(→)＝(cosA，－cosC)，且m(→)⊥n(→)．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋p)取最大值时，求角
的大小.
22．已知a(→)＝(cosx＋sinx，sinx)，b(→)＝(cosx－sinx，2cosx)，
（Ⅰ）求证：向量a(→)与向量b(→)不可能平行；
（Ⅱ）若f(x)＝a(→)·b(→)，且x∈[－p,p]时，求函数f(x)的最大值及最小值．
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参考答案
一、选择题
1．B 解析：由数量积的坐标表示知a(→)·b(→)＝cos40°sin20°＋sin40°cos20°＝sin60°＝2(3).
2．D 【解析】y＝2sin2x－2(π)→y＝2sin2（x＋p）－2(π)＋2(π)，即y＝－2sin2x.
3．A 【解析】因为cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC为钝角.
4．B 【解析】由平行的充要条件得2(3)×3(1)－sinacosa＝0，sin2a＝1，2a＝90°，a＝45°.
5．B 【解析】a(→)·b(→)＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，p2(3))，∴|sinθ|＝－sinθ，∴a(→)·b(→)＝0，∴a(→)⊥b(→)．
6．A 【解析】→(c)＝→(a)＋l→(b)＝(6，－4＋2l)，代入y＝sin12(π)x得，－4＋2l＝sinp＝1，解得l
＝2(5).
7．B 【解析】考虑把函数y＝sin(x＋p6(5))的图象变换为y＝cosx的图象，而y＝sin(x＋p6(5))＝cos(x＋p)，即把y＝cos(x＋p)的图象变换为y＝cosx的图象，只须向右平行p个单位，所以m＝p，故选B.
8．C 【解析】||＝＝≤3.
9．D 【解析】a(→)＋b(→)＝(cosa＋cosb,sina＋sinb)，a(→)－b(→)＝(cosa＋cosb,sina－sinb)，∴(a(→)＋b(→))·(a(→)－b(→))＝cos2a－cos2b＋sin2a－sin2b＝0，∴(a(→)＋b(→))⊥(a(→)－b(→))．
10．C 【解析】|u(→)|2＝|a(→)|2＋t2|b(→)|2＋2ta(→)·b(→)＝1＋t2＋2t(sin20°cos25°＋cos20°sin25°)＝t2＋t＋1＝(t＋2(2))2＋2(1)，|u(→)|min(2 )＝2(1)，∴|u(→)|min＝2(2).
11．C 【解析】设BC的中点为D，则AB(→)＋AC(→)＝2AD(→)，又由OP(→)＝OA(→)＋l(AB(→)＋AC(→))，AP(→)＝2lAD(→)，所以AP(→)与AD(→)共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心．
12．A 【解析】设a(→)＝(x,y)，x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为i(→)＝(1,0)，j(→)＝(0,1)，由向量知识得cosa＝i(→)a(→)i(→)a(→)|(→)＝x2＋y2(x)x2＋y2(x)，cosb＝j(→)a(→)j(→)a(→)|(→)＝x2＋y2(y)x2＋y2(y)，则cos2a＋cos2b＝1.
二、填空题
13．－49(3) 【解析】由m(→)∥n(→)，得－2(1)sinq＝2cosq,∴tanq＝－4，∴sin2q＝qqqqsin2＋cos2(2sincos)＝qqtan2＋1(2tan)＝－49(3)．
14．2(3) 【解析】OA(→)·OB(→)＝－5Þ10cosacobs＋10sinasinb＝－5Þ10cos(a－b)＝－5Þcos(a－b)＝－2(1)，∴sin∠AOB＝2(3)，又|OA(→)|＝2，|OB(→)|＝5，∴S△AOB＝2(1)×2×5×2(3)＝2(3)．
15．（p，－1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x＋p)＋1的图象向下平移1个单位，再向右平移－2(kπ)＋p(k∈Z)个单位．即应按照向量a(→)＝(－2(kπ)＋p，－1) (k∈Z)进行平移．要使|a|最小，
16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设＝(x，y)，由·＝－1，有x＋y＝－1 ①，由与夹角为4(3π)，有·＝||·||cos4(3π)，∴||＝1，则x2＋y2＝1 ②，由①②解得 ( )y=0(x=﹣1)或 ( )y＝－1(x＝0) ∴即＝(－1，0)或＝(0，－1) ．
三、解答题
17．【解】（Ⅰ）∵AB(→)·AC(→)＝bccosA，BA(→)·BC(→)＝cacosB，
又AB(→)·AC(→)＝BA(→)·BC(→)，∴bccosA＝cacosB，
∴由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0
∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴AB(→)·AC(→)＝bccosA＝bc·2bc(b2＋c2－a2)＝2(c2)，
∵c＝，∴k＝1.
18．【解】(Ⅰ)由题意得m(→)·n(→)＝sinA－cosA＝1，2sin(A－p)＝1，sin(A－p)＝2(1)，
由A为锐角得A－p＝p，A＝p.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝2(1)，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－2(1))2＋2(3)，
因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝2(1)时，f(x)有最大值2(3)．
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，2(3)]．
19．【解】(Ⅰ)由m(→)∥n(→)，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝2(1)或cosA＝－1.
∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝p.
(Ⅱ)∵b＋c＝a，由正弦定理，sinB＋sinC＝sinA＝2(3)，
∵B＋C＝p3(2)，sinB＋sin(p3(2)－B)＝2(3)，
∴2(3)cosB＋2(3)sinB＝2(3)，即sin(B＋p)＝2(3)．
20．【解】（Ⅰ）由已知得：＝，则sinα＝cosα，
因为α∈(－π，0)，∴α＝－p4(3).
（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得
sinα＋cosα＝4(3)，平方，得sin2α＝－16(7).
而1＋tanα(2sin2α＋sin2α)＝sinα＋cosα(2sin2αcosα＋2sinαcos2α)＝2sinαcosα＝sin2α＝－16(7)．
21．【解】(Ⅰ)由m(→)⊥n(→)，得m(→)·n(→)＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，
∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝2(1)，故A＝p.
(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋p)＝(1－cos2B)＋sin2Bcosp＋cos2Bsinp
＝1＋2(3)sin2B－2(1) cos2B＝1＋sin(2B－p).
由(Ⅰ)得，0＜B＜p3(2)，－p＜2B－p＜p6(7)，
∴当2B－p＝p，即B＝p时，y取最大值2.
22．【解】（Ⅰ）假设a(→)∥b(→)，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，
∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·2(1＋cos2x)＋2(1)sin2x＋2(1－cos2x)＝0，
即sin2x＋cos2x＝－3，
∴(sin2x＋p)＝－3，与|(sin2x＋p)|≤矛盾，
故向量a(→)与向量b(→)不可能平行．
（Ⅱ）∵f(x)＝a(→)·b(→)＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx
＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x
＝(2(2)cos2x＋2(2)sin2x)＝(sin2x＋p)，
∵－p≤x≤p，∴－p≤2x＋p≤p4(3)，∴当2x＋p＝p，即x＝p时，f(x)有最大值；
当2x＋p＝－p，即x＝－p时，f(x)有最小值－1．
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