2017年甘肃高考数学基础提升训练（三）
【例1】 把函数y＝sin2x的图象按向量a(→)＝(－p，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝p)的图象，则j和B的值依次为 （ ）
A．p，－3 B．p，3 C．p，－3 D．－p，3
【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为 ( )¢p¢y＝y＋3(6)，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.
【解析1】 由平移向量知向量平移公式 ( )¢p¢y＝y－3(6)，即 ( )¢p¢y＝y＋3(6)，代入y＝sin2x得y¢＋3＝sin2(x¢＋p)，即到y＝sin(2x＋3(π))－3，由此知j＝p，B＝－3，故选C.
【解析2】 由向量a(→)＝(－p，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移p个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋p)－3，即y＝sin(2x＋3(π))－
3，由此知j＝p，B＝－3，故选C.
【例2】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量p(→)＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q(→)＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos2(C－3B)的最大值.
【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角
的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.
【解】 （Ⅰ）∵p(→)、q(→)共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝4(3)，
又A为锐角，所以sinA＝2(3)，则A＝p.
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos2(C－3B)＝2sin2B＋cosp2(3－B－3B)
＝2sin2B＋cos(p－2B)＝1－cos2B＋2(1)cos2B＋2(3)sin2B
＝2(3)sin2B－2(1)cos2B＋1＝sin(2B－p)＋1.
∵B∈(0，p)，∴2B－p∈(－p，p6(5))，∴2B－p＝p，解得B＝p，ymax＝2.
【例3】 已知向量a(→)＝(3sinα,cosα)，b(→)＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(p2(3)，2π)，且a(→)⊥b(→)．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求cos(2(α)＋p)的值．
【解】 （Ⅰ）∵a(→)⊥b(→)，∴a(→)·b(→)＝0．而a(→)＝（3sinα，cosα），b(→)＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a(→)·b(→)＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－3(4)，或tanα＝2(1)．
∵α∈（p2(3)，2π），tanα＜0，故tanα＝2(1)（舍去）．∴tanα＝－3(4)．
（Ⅱ）∵α∈（p2(3)，2π），∴2(α)∈（p4(3)，π）．
由tanα＝－3(4)，求得tan2(α)＝－2(1)，tan2(α)＝2（舍去）．∴sin2(α)＝5(5)，cos2(α)＝－5(5)，
∴cos(2(α)＋p)＝cos2(α)cosp－sin2(α)sinp＝－5(5)×2(1)－5(5)×2(3)＝－10(15)
【例3】 已知向量a(→)＝(cosα,sinα)，b(→)＝(cosβ,sinβ)，|a(→)－b(→)|＝5(2).(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－p＜β＜0＜α＜p，且sinβ＝－13(5)，求sinα的值.
【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.
【解】 (Ⅰ)∵|a(→)－b(→)|＝5(2)，∴a(→)2－2a(→)·b(→)＋b(→)2＝5(4)，
将向量a(→)＝(cosα,sinα)，b(→)＝(cosβ,sinβ)代入上式得
12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝5(4)，∴cos(α－β)＝－5(3).
(Ⅱ)∵－p＜β＜0＜α＜p，∴0＜α－β＜π，
由cos(α－β)＝－5(3)，得sin(α－β)＝5(4)，
又sinβ＝－13(5)，∴cosβ＝13(12)，
∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝65(33).
【例5】 设函数f(x)＝a(→)·b(→).其中向量a(→)＝(m，cosx)，b(→)＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f(p)＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
解：（Ⅰ）f(x)＝a(→)·b(→)＝m(1＋sinx)＋cosx，
由f(p)＝2，得m(1＋sinp)＋cosp＝2，解得m＝1.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋p)＋1，
当sin(x＋p)＝－1时，f(x)的最小值为1－.
【例6】 已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若m(→)＝(－cos2(A)，sin2(A))，n(→)＝(cos2(A)，sin2(A))，a＝2，且m(→)·n(→)＝2(1)．
（Ⅰ）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
（Ⅱ）求b＋c的取值范围．
【解】 （Ⅰ）∵m(→)＝(－cos2(A)，sin2(A))，n(→)＝(cos2(A)，sin2(A))，且m(→)·n(→)＝2(1)，
∴－cos22(A)＋sin22(A)＝2(1)，即－cosA＝2(1)，
又A∈(0，π)，∴A＝p3(2).
又由S△ABC＝2(1)bcsinA＝，所以bc＝4，
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosp3(2)＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.
（Ⅱ）由正弦定理得：sinB(b)＝sinC(c)＝sinA(a)＝p3(2)3(2)＝4，又B＋C＝p－A＝p，
∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(p－B)＝4sin(B＋p)，
∵0＜B＜p，则p＜B＋p＜p3(2)，则2(3)＜sin(B＋p)≤1，即b＋c的取值范围是(2，4].
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