一、非标准
1.若数列{an}的首项a1=1,且an=an-1 2(n≥2),则a7等于()
A.13 B.14 C.15 D.17
2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2 a8=6,则S9等于()
A. B.27 C.54 D.108
3.在等差数列{an}中,a2=3,a3 a4=9,则a1a6的值为()
A.14 B.18 C.21 D.27
4.在等差数列{an}中,a5 a6 a7=15,那么a3 a4 … a9等于()
A.21 B.30 C.35 D.40
5.(2014天津河西口模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使an>0的最小正整数n的值是()
A.8 B.9 C.10 D.11
6.(2014浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(nN ,且n≥2),则a81等于()
A.638 B.639 C.640 D.641
7.若等差数列{an}满足a7 a8 a9>0,a7 a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.
8.若等差数列{an}前9项的和等于前4项的和,且ak a4=0,则k= .
9.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2 a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan 1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an 2-an=λ;
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
11.(2014辽宁,文9)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()
A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n等于()
A.12 B.14 C.16 D.18
13.若数列{an}满足:a1=19,an 1=an-3(nN ),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为()
A.6 B.7 C.8 D.9
14.已知正项数列{an}满足:a1=1,a2=2,2(nN ,n≥2),则a7= .
15.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= n-4(nN ).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
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16.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an= 2(n-1)(nN ).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并求an与Sn;
(2)是否存在自然数n,使得S1 … -(n-1)2=2015?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
一、非标准
1.A 解析:an=an-1 2(n≥2),
∴an-an-1=2.
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
故a7=1 2×(7-1)=13.
2.B 解析:S9==27.
3.A 解析:设等差数列{an}的公差为d,
则依题意得由此解得
所以a6=a1 5d=7,a1a6=14.
4.C 解析:由题意得3a6=15,a6=5.
所以a3 a4 … a9=7a6=7×5=35.
5.C 解析:设等差数列{an}的公差为d,
a11-a8=3d=3,∴d=1.
∵S11-S8=a11 a10 a9=3a1 27d=3,
∴a1=-8,∴令an=-8 (n-1)>0,解得n>9.
因此使an>0的最小正整数n的值是10.
6.C 解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,
{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,Sn=(2n-1)2,
a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
7.8 解析:由等差数列的性质可得a7 a8 a9=3a8>0,即a8>0;而a7 a10=a8 a9<0,故a9<0.所以数列{an}的前8项和最大.
8.10 解析:设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S9-S4=0,
即a5 a6 a7 a8 a9=0,5a7=0,故a7=0.
而ak a4=0=2a7,故k=10.
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0,
由等差数列的性质,得a2 a5=a3 a4=22,
所以a3,a4是关于x的方程x2-22x 117=0的解,
所以a3=9,a4=13.
易知a1=1,d=4,故所求通项为an=1 (n-1)×4=4n-3.
(2)由(1)知Sn==2n2-n,
所以bn=.
(方法一)所以b1=,b2=,b3=(c≠0).
令2b2=b1 b3,解得c=-.
当c=-时,bn==2n,
当n≥2时,bn-bn-1=2.
故当c=-时,数列{bn}为等差数列.
(方法二)bn=.
c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.
bn 1-bn=2(n 1)-2n=2(n∈N ),
∴数列{bn}是公差为2的等差数列.
故存在一个非零常数c=-,使数列{bn}也为等差数列.
10.解:(1)由题设,anan 1=λSn-1,an 1an 2=λSn 1-1,
两式相减,得an 1(an 2-an)=λan 1.
由于an 1≠0,所以an 2-an=λ.
(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由(1)知,a3=λ 1.
令2a2=a1 a3,解得λ=4.
故an 2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an 1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
11.D 解析:{}为递减数列,
=<1.
∴a1d<0.故选D.
12.B 解析:易得Sn-Sn-4=an an-1 an-2 an-3=80.
又S4=a1 a2 a3 a4=40,
所以4(a1 an)=120,a1 an=30.
由Sn==210,得n=14.
13.B 解析:a1=19,an 1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.
an=19 (n-1)×(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,
则有kN .
∴
∴≤k≤.
∵k∈N ,∴k=7.
∴满足条件的n的值为7.
14. 解析:因为2(nN ,n≥2),
所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.
所以=1 3(n-1)=3n-2.
所以an=,n≥1.
所以a7=.
15.(1)证明:当n=1时,有2a1= 1-4,即-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1= n-5.
又2Sn= n-4,
两式相减得2an= 1,
即-2an 1=,
也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an an-1=1.
而a1=3,所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1.
因此,数列{an}为首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式an=3 (n-1)×1=n 2,即an=n 2.
16.(1)证明:由an= 2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN ).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(nN ).
(2)解:由(1),得=2n-1(nN ).
又S1 … -(n-1)2=1 3 5 7 … (2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2015,得n=1008,
即存在满足条件的自然数n=1008.
