一、选择题
1.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1=b1，a4=b4，a10=b10，则a1和d的值分别为()
A.1 B.-2
C.2 D.-1
答案：D 解题思路：由得由两式得a1=，代入式中， 3d=·d3，化简得d9-3d3 2=0，
即(d3-1)(d6 d3-2)=0，
d≠1，由d6 d3-2=0，得d=-，a1=-d=.
2.已知数列{an}满足an 2-an 1=an 1-an，nN*，且a5=.若函数f(x)=sin 2x 2cos2，记yn=f(an)，则数列{yn}的前9项和为()
A.0 B.-9
C.9 D.1
答案：C 命题立意：本题考查等差数列的定义与性质及诱导公式的应用，考查综合分析能力，难度中等.
解题思路：据已知得2an 1=an an 2，即数列{an}为等差数列，又f(x)=sin 2x 2×=sin 2x 1 cos x，因为a1 a9=a2 a8=…=2a5=π，故cos a1 cos a9=cos a2 cos a8=…=cos a5=0，又2a1 2a9=2a2 2a8=…=4a5=2π，故sin 2a1 sin 2a9=sin 2a2 sin 2a8=…=sin 2a5=0，故数列{yn}的前9项之和为9，故选C.
3.已知数列{an}满足an 1=an-an-1(n≥2)，a1=1，a2=3，记Sn=a1 a2 … an，则下列结论正确的是()
A.a100=-1，S100=5 B.a100=-3，S100=5
C.a100=-3，S100=2 D.a100=-1，S100=2
答案：A 命题立意：本题考查数列的性质与求和，难度中等.
解题思路：依题意，得an 2=an 1-an=-an-1，即an 3=-an，an 6=-an 3=an，数列{an}的项是以6为周期重复性地出现，且a1 a2 a3 a4 a5 a6=(a1 a4) (a2 a5) (a3 a6)=0;注意到100=6×16 4，因此S100=16×0 a1 a2 a3 a4=(a1 a4) a2 a3=a2 (a2-a1)=2a2-a1=5，a100=a4=-a1=-1，故选A.
4.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则(nN*)的最小值为()
A.4 B.3
C.2-2 D.
答案：A 命题立意：本题考查等差数列的通项公式与求和公式以及均值不等式的应用，难度中等.
解题思路：据题意由a1，a3，a13成等比数列可得(1 2d)2=1 12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n 1) -2，根据均值不等式，知=(n 1) -2≥2-2=4，当n=2时取得最小值4，故选A.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若-am
A.Sm>0，且Sm 1<0 B.Sm<0，且Sm 1>0
C.Sm>0，且Sm 1>0 D.Sm<0，且Sm 1<0
答案：A 命题立意：本题考查等差数列的性质及前n项和公式的应用，难度中等.
解题思路：据已知可得a1 am>0，a1 am 1<0，又Sm=>0，Sm 1=<0，故选A.
6.在数列{an}中，an 1=can(c为非零常数)，前n项和为Sn=3n k，则实数k为()
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案：A 命题立意：本题考查等比数列的定义、数列的前n项和公式与通项间的关系，难度中等.
解题思路：依题意得，数列{an}是等比数列，a1=3 k，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=18,62=18(3 k)，解得k=-1，故选A.
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二、填空题
7.已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn=an 1-an(nN*).若b2=-2，b7=8，则a8=________.
答案：16 解题思路： {bn}为等差数列，且b2=-2，b7=8，设其公差为d，
b7-b2=5d，即8 2=5d. d=2.
bn=-2 (n-2)×2=2n-6.
an 1-an=2n-6.
由a2-a1=2×1-6，a3-a2=2×2-6，…，an-an-1=2×(n-1)-6，累加得：an-a1=2×(1 2 … n-1)-6(n-1)=n2-7n 6，
an=n2-7n 8. a8=16.
8.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4=________.
答案：22 命题立意：本题考查等差与等比数列的定义与通项公式的应用，难度中等.
解题思路：据题意知等差数列的a1，a2，a6成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1 d)2=a1(a1 5d)，
解得d=3a1，故a2=4a1，a6=16a1ak4=64a1=a1 (k4-1)(3a1)，解得k4=22.
9.已知数列{an}满足a1=33，an 1-an=2n，则的最小值为________.
答案： 命题立意：本题主要考查累加法，难度中等.
解题思路：因为a1=33，an 1-an=2n，故利用累加法表示.an=(an-an-1) (an-1-an-2) … (a2-a1) a1，那么可知==n -1，借助于函数的性质可知当n=6时，取得最小值为.
10.已知数列{an}满足a1=1，an=(n≥2)，则数列{an}的通项公式为an=________.
答案： 命题立意：本题主要考查等差数列的定义与通项公式等知识，意在考查考生的观察能力、化归与转化能力、运算能力.
解题思路：依题意，得-=(n≥2)，因此数列是以1为首项、为公差的等差数列，于是有=1 (n-1)，an=.
三、解答题
11.已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S，S，…，S，…是以3为首项，以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90.
(1)求an，bn;
(2)从数列中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于?若能的话，请写出这个数列的第一项和公比;若不能的话，请说明理由.
解析：(1){S}是以3为首项，以1为公差的等差数列，
所以S=3 (n-1)=n 2.
因为an>0，所以Sn=(nN*).
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-，
又a1=S1=，
所以an=(nN*).
设{bn}的首项为b1，公比为q，则有
所以即bn=3n(nN*).
(2)=n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，
首项为c1=p，公比为k(p，kN*)，它的各项和等于=，则有=，
所以p=.
当p≥k时，3p-3p-k=8，即3p-k(3k-1)=8，
因为p，kN*，所以只有当p-k=0，k=2，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为.
当pp，右边含有3的因数，而左边非3的倍数，故不存在p，kN*，所以存在唯一的等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于.
12.已知数列{an}是公比大于1的等比数列，对任意的nN*，有an 1=a1 a2 … an-1 an .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足：bn=(log3 a1 log3 a2 … log3 an log3 t)(nN*)，若{bn}为等差数列，求实数t的值及数列{bn}的通项公式.
解析：(1)解法一：设{an}的公比为q，
则由题设，得
即
由-，得a1q2-a1q=-a1 a1q，
即2a1q2-7a1q 3a1=0.
a1≠0， 2q2-7q 3=0，
解得q=(舍去)或q=3.
将q=3代入，得a1=1，
an=3n-1.
解法二：设{an}的公比为q，则由已知，得
a1qn= a1qn-1 ，
即a1qn=qn- ，
比较系数得
解得(舍去)或 an=3n-1.
(2)由(1)，得
bn=(log3 30 log3 31 … log3 3n-1 log3 t)
=[1 2 … (n-1) log3 t]
=
= log3 t.
{bn}为等差数列，
bn 1-bn等于一个与n无关的常数，
而bn 1-bn=- log3 t
=-log3 t，
log3 t=0， t=1，此时bn=.
13.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1 2(nN*)，数列{bn}满足bn=2n·an.
(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=log2，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<(nN*)的n的最大值.
解析：(1)证明：在Sn=-an-n-1 2中，
令n=1，可得S1=-a1-1 2=a1，得a1=.
当n≥2时，Sn-1=-an-1-n-2 2，
an=Sn-Sn-1=-an an-1 n-1，
即2an=an-1 n-1.
2n·an=2n-1·an-1 1.
bn=2n·an， bn=bn-1 1.
又b1=2a1=1， {bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
于是bn=1 (n-1)·1=n， an=.
(2) cn=log2=log22n=n，
==-.
Tn= … =1 --.
由Tn<，得1 --<，即 >，f(n)= 单调递减，
f(3)=，f(4)=，f(5)=，
n的最大值为4.
