1.(2015·四川卷)设数列{an}(n=1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1，且a1，a2 1，a3成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列an(1的前n项和为Tn，求使得|Tn-1|<1 000(1成立的n的最小值。
解 (1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)，即an=2an-1(n≥2)。
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1。
又因为a1，a2 1，a3成等差数列，
即a1 a3=2(a2 1)。
所以a1 4a1=2(2a1 1)，解得a1=2。
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。
故an=2n。
(2)由(1)得an(1=2n(1。
所以Tn=2(1 22(1 … 2n(1=2(1=1-2n(1。
由|Tn-1|<1 000(1，得-1(1<1 000(1，
即2n>1 000。
因为29=512<1 000<1 024=210，所以n≥10。
于是，使|Tn-1|<1 000(1成立的n的最小值为10。
2.(2015·山东卷)设数列{an}的前n项和为Sn。已知2Sn=3n 3。
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn。
解 (1)因为2Sn=3n 3，所以2a1=3 3，故a1=3，
当n>1时，2Sn-1=3n-1 3，
此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1，即an=3n-1，
又因为n=1时，不满足上式，所以an=3n-1，n>1。(3，n=1，
(2)因为anbn=log3an，所以b1=3(1，
当n>1时，bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n。
所以T1=b1=3(1;
当n>1时，Tn=b1 b2 b3 … bn=3(1 (1×3-1 2×3-2 … (n-1)×31-n)，
所以3Tn=1 (1×30 2×3-1 … (n-1)×32-n)，
两式相减，得2Tn=3(2 (30 3-1 3-2 … 32-n)-(n-1)×31-n=3(2 1-3-1(1-31-n-(n-1)×31-n=6(13-2×3n(6n 3，所以Tn=12(13-4×3n(6n 3。经检验，n=1时也适合。
综上可得Tn=12(13-4×3n(6n 3。
??3.(2015·天津卷)已知数列{an}满足an 2=qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2 a3，a3 a4，a4 a5成等差数列。
(1)求q的值和{an}的通项公式;
(2)设bn=a2n-1(log2a2n，n∈N*，求数列{bn}的前n项和。
解 (1)由已知，有(a3 a4)-(a2 a3)=(a4 a5)-(a3 a4)，即a4-a2=a5-a3，
所以a2(q-1)=a3(q-1)。又因为q≠1，故a3=a2=2，由a3=a1·q，得q=2。
当n=2k-1(k∈N*)时，an=a2k-1=2k-1=22(n-1;
当n=2k(k∈N*)时，an=a2k=2k=22(n。
所以，{an}的通项公式为an=，n为偶数。(n
(2)由(1)得bn=a2n-1(log2a2n=2n-1(n。设{bn}的前n项和为Sn，则Sn=1×20(1 2×21(1 3×22(1 … (n-1)×2n-2(1 n×2n-1(1，
2(1Sn=1×21(1 2×22(1 3×23(1 … (n-1)×2n-1(1 n×2n(1，
上述两式相减，得2(1Sn=1 2(1 22(1 … 2n-1(1-2n(n=2(1-2n(n=2-2n(2-2n(n，
整理得，Sn=4-2n-1(n 2。
所以，数列{bn}的前n项和为4-2n-1(n 2，n∈N*。
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4.(2015·合肥质检)已知函数f(x)=x x(1(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x=n 1与函数y=f(x)图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an=|AnBn|。
(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式;
(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1。
解 (1)对f(x)=x x(1(x>0)求导，得f′(x)=1-x2(1，
则切线ln的方程为y-n(1=n2(1(x-n)，
即y=n2(1x n(2。
易知Ann 1(1，Bnn2(n-1，
由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n 1)(1。
(2)证明：∵nan=n(n 1)(1=n(1-n 1(1，
∴Sn=a1 2a2 … nan=1-2(1 2(1-3(1 … n(1-n 1(1=1-n 1(1<1。
5.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1anan 1(4n，求数列{bn}的前n项和Tn。
解 (1)因为S1=a1，S2=2a1 2(2×1×2=2a1 2，
S4=4a1 2(4×3×2=4a1 12，
由题意得(2a1 2)2=a1(4a1 12)，
解得a1=1，所以an=2n-1。
(2)bn=(-1)n-1anan 1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n 1)(4n
=(-1)n-12n 1(1。
当n为偶数时，
Tn=3(1-5(1 … 2n-3(1 2n-1(1-2n 1(1=1-2n 1(1=2n 1(2n。
当n为奇数时，
Tn=3(1-5(1 …-2n-3(1 2n-1(1 2n 1(1=1 2n 1(1=2n 1(2n 2。
所以Tn=，n为偶数。(2n或Tn=2n 1(2n 1 (-1)n-1
6.(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1=1，an 1=1-4an(1，其中n∈N*。
(1)设bn=2an-1(2，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式;
(2)设cn=n 1(4an，数列{cncn 2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn解 (1)∵bn 1-bn=2an 1-1(2-2an-1(2
=-1(1-2an-1(2
=2an-1(4an-2an-1(2=2(常数)，
∴数列{bn}是等差数列。
∵a1=1，∴b1=2，
因此bn=2 (n-1)×2=2n，
由bn=2an-1(2得an=2n(n 1。
(2)由cn=n 1(4an，an=2n(n 1得cn=n(2，
∴cncn 2=n(n 2)(4=2n 2(1，
∴Tn=21-3(1 2(1-4(1 3(1-5(1 … n(1-n 2(1
=2n 2(1<3，
依题意要使Tn即4(m(m 1)≥3，
解得m≥3或m≤-4，又m为正整数，所以m的最小值为3。
