一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则(UA)∪B=()
A.(2, 3] B.(-∞，1](2， ∞)
C.1,2) D.(-∞，0)∪1， ∞)
D 因为UA={x|x>2或x<0}，B={y|1≤y≤3}，所以(UA)∪B=(-∞，0)1， ∞).]
2.已知i是虚数单位，若a bi=-(a，bR)，则a b的值是()
A.0 B.-i
C.- D.D 因为a bi=-==，所以a=，b=0，a b=.]
3.已知条件p：a<0，条件q：a2>a，则綈p是綈q的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B 因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q的必要不充分条件.]
4.如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是()
图1
A. B.
C.②④ D.A 由所给的正方体知，
PAC在该正方体上下面上的射影是，PAC在该正方体左右面上的射影是，
PAC在该正方体前后面上的射影是，故符合题意.]
5.双曲线-=1(a>0，b>0)与椭圆 =1的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是()
A.(2,4) B.(2,4]
C.2,4) D.(2， ∞)
A 椭圆 =1的半焦距c=4.
要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即2.
又a
6.若数列{an}满足-=d (nN*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列.已知数列为调和数列，且x1 x2 … x20=200，则x5 x16=()
A.10 B.20
C.30 D.40
B 由题意知，数列为调和数列，-=xn 1-xn=d，{xn}是等差数列.又x1 x2 … x20=200=，x1 x20=20.
又x1 x20=x5 x16，x5 x16=20.]
7.已知实数x，y满足约束条件则x2 y2 2x的最小值是()
A. B.-1
C. D.1
D 满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示.x2 y2 2x=(x 1)2 y2-1表示(-1,0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，
由图可知当x=0，y=1时，x2 y2 2x取最小值1.]
8.已知函数f(x)=sin (2x φ)，其中0<φ<2π，若f(x)≤对xR恒成立，且f>f(π)，则φ等于()
A. B.
C. D.
C 若f(x)≤对xR恒成立，则f等于函数的最大值或最小值，
即2× φ=kπ ，kZ，
则φ=kπ ，kZ.又f>f(π)，即sin φ<0,0<φ<2π，
当k=1时，此时φ=，满足条件.]
9.程序框图如图2所示，该程序运行后输出的S的值是 ()
图2
A.2 B.-
C.-3 D.
A 由程序框图知：S=2，i=1;S==-3，i=2;S==-，i=3;S==，i=4;S==2，i=5;……，可知S值周期性出现，周期为4，
当i=2 017=4×504 1时，结束循环输出S，即输出的S=2.]
10.在ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若cos2B cos B=1-cos Acos C，则()
A.a，b，c 成等差数列
B.a，b，c 成等比数列
C.a,2b,3c 成等差数列
D.a,2b,3c 成等比数列
B cos2B cos B=1-cos Acos C，1-cos2B=cos B cos Acos C，即sin2B=-cos(A C) cos Acos C=sin Asin C，由正弦定理可知：b2=ac，a，b，c成等比数列.故选B.]
11.已知双曲线T：-=1(a，b>0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R，ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，ki≠0，i=1,2,3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为-1.则 的值为()
A.-1 B.-
C.1 D.
B 由题易知a=，a2 b2=4，解得a2=，b2=，所以T为：-=1.
已知kOM kON kOP=-1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得==.
即k1=kOM=，同理kON=，kOP=.
由kOM kON kOP=-1，所以 =-1，
即 =-，故选B.]
12.如图3，在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f(M)=(m，n，p)，其中m，n，p分别表示三棱锥MPAB，MPBC，MPAC的体积，若f(M)=(1，x,4y)，且 ≥8恒成立，则正实数a的最小值是()
图3
A.2- B.
C. D.6-4
C PA，PB，PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，
VPABC=××3×2×2=2=1 x 4y，即x 4y=1.
≥8恒成立， =(x 4y)=1 4a≥1 4a 4≥8，
解得a≥，正实数a的最小值为.]
第卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～2题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a b与向量ka-b垂直，则k=________.
1 由题意知(a b)·(ka-b)=0，
即k-1 (k-1)a·b=0，
(k-1)(1 a·b)=0.
又1 a·b=0不恒成立，k=1.]
14.已知等比数列{an}为递增数列，a1=-2，且3(an an 2)=10an 1，则公比q=________.
因为等比数列{an}为递增数列且a1=-2<0，所以公比0
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=.
(1)求cos C的值;
(2)若ABC的面积为，且sin2A sin2B=sin2C，求a，b及c的值.
解] (1) 因为sin=，所以cos C=1-2sin2=-.4分
(2) 因为sin2A sin2B=sin2C，由正弦定理得
a2 b2=c2.6分
由余弦定理得a2 b2=c2 2abcos C，将cos C=-代入，得ab=c2，8分
由SABC=及sin C==，得ab=6. 10分
由得或
经检验，满足题意.
所以或12分
18.(本小题满分12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生
等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 表2：女生
等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y (1)从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率;
(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式：
K2=，其中n=a b c d.
临界值表：
P(K2>k0) 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 解] (1)设从高一年级男生中抽出m人，
则=，m=25，
x=25-20=5，y=20-18=2.2分
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(b，c)，(A，B)，(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共10种.4分
设事件C表示“从表2的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，
则C的结果为(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，
P(C)==， 故所求概率为.6分
(2)
男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 8分
1-0.9=0.1，P(K2≥2.706)=0.10，
而K2===1.125<2.706，10分
没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.12分19.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为梯形，ABCD，PD平面ABCD，BAD=ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，E为BC中点.
(1)求证：平面PBC平面PDE;
(2)线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF?若存在，请找出具体位置，并进行证明：若不存在，请分析说明理由.
图
【证明】 (1)连接BD，BAD=ADC=90°，
AB=a，DA=a，
所以BD=DC=2a，2分
E为BC中点，
所以BCDE.
又因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，
所以BCPD.4分
因为DE∩PD=D，
所以BC平面PDE.
因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PDE.6分
(2)当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时，PA平面BDF.8分连接AC，BD交于O点，
ABCD，所以AOB∽△COD.
又因为AB=DC，所以 AO=OC，10分
从而在CPA中，AO=AC，而PF=PC，
所以OFPA，
而OF平面BDF，PA平面BDF，
所以PA平面BDF.12分
20.(本小题满分12分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点.
图6
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3)，Q(2，-3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值;
当A，B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
解] (1)设椭圆C的方程为 =1(a>b>0)，则由题意可知b=2.2分
由=，a2=c2 b2，得a=4.
椭圆C的方程为 =1.4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=x t，5分
代入 =1，得x2 tx t2-12=0.6分
由Δ>0，解得-4
