计算题51分练(1)
1.(15分)一物体(可视为质点)以一定的初速度冲上一倾角为θ的斜面，最后静止在斜面上，如图1所示，已知物体在第1 s内位移为6 m，停止运动前的最后1 s内位移为2 m，求：
图1
(1
(2)整个减速过程所用的时间。
解析 (1)设物体做匀减速运动的加速度大小为a，初速度为v0。由于物体停止运动前的最后1 s内位移为2 m，则由逆向思维把整个过程当作物体做反方向的匀加速直线运动，有x2=at(2分)
解得a=4 m/s2(2分)
物体在第1 s内位移为6 m，则有
x1=v0t1-at(3分)
解得v0=8 m/s(2分)
在整个减速运动过程中物体的位移大小为
x== m=8 m。(2分)
(2)对整个运动过程有x=at2(2分)
解得t== s=2 s。(2分)
答案 (1)8 m (2)2 s
2.(17分)(2015·四川绵阳市二诊)如图2甲所示，两条不光滑平行金属导轨倾斜固定放置，倾角θ=37°，间距d=1 m电阻r=2 Ω的金属杆与导轨垂直连接，导轨下端接灯泡L，规格为“4 V，4 W”，在导轨内有宽为l、长为d的矩形区域abcd，矩形区域内有垂直导轨平面均匀分布的磁场，各点的磁感应强度B大小始终相等，B随时间t变化如图乙所示。在t=0时，金属杆从PQ位置静止释放，向下运动直到cd位置的过程中，灯泡一直处于正常发光状态。不计两导轨电阻，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度g=10 m/s2。求：
图2
(1)金属杆的质量m;
(2)0～3 s内金属杆损失的机械能ΔE。
解析 (1)设小灯泡额定功率为P=4 W，额定电流为I，额定电压为U=4 V，正常发光时的电阻为R，则
P=IU(1分)
R=(1分)
在0～1 s时间内，金属杆从PQ运动到ab位置，设整个回路中的感应电动势为E，磁场区域宽度为l，则
E=I(R r)(1分)
E=(1分)
=·dl，=2 T/s(1分)
联立解得I=1 A，R=4 Ω，E=6 V，l=3 m(1分)
t=1 s金属杆进入磁场后，磁场磁感应强度保持不变，设金属杆进入磁场时速度为v，金属杆中的感应电动势为E1，则E1=E，E1=Bdv(1分)
设金属杆在运动过程中受到的摩擦力为f，杆进入磁场前加速度为a，则a=(1分)
mgsin θ-f=ma(1分)
进入磁场后杆匀速运动，设受到的安培力为F安，所以
FBId
mgsin θ-f-F安=0(1分)
联立解得v=3 m/s，a=3 m/s2，f=2 N，F安=2 N
m=0.67 kg(1分)
(2)设金属杆进入磁场前0～1 s内的位移为x1，通过磁场的时间为t2，则x1=t1，t2=(1分)
x1=1.5 m，t2=1 s(1分)
故在2 s后金属杆出磁场，设第3 s内金属杆的位移为x3，3 s末金属杆的速度为v3，则
x3=vt3 at(1分)
v3=v at3(1分)
ΔE机=mg(x1 l x3)sin θ-mv(1分)
联立解得x3=4.5 m，v3=6 m/s
ΔE机=24 J(1分)
(2)另解：0～3 s内杆克服摩擦力做功
Wf克=f(x1 l x3)=18 J
克服安培力做功W安克=F安l=6 J
0～3 s内杆损失的机械能为
ΔE机=Wf克 W安克=24 J
答案 (1)0.67 kg (2)24 J
3.(19分)电视机中显像管(抽成真空玻璃管)的成像原理示意图(俯视图)如图3甲所示，在电子枪右侧的偏转线圈可以产生使电子束沿纸面发生偏转的磁场，偏转的磁场可简化为由通电螺线管产生的与纸面垂直的磁场，该磁场分布的区域为圆形(如图乙所示)，其磁感应强度B=μNI，式中μ为磁常量，N为螺线管线圈的匝数，I为线圈中电流的大小。由于电子的速度极大，同一电子穿过磁场的过程可认为
已知电子质量为m，电荷量为e，电子枪加速电压为U，磁常量为μ，螺线管线圈的匝数为N，偏转磁场区域的半径为r，其圆心为O点。当没有磁场时，电子束通过O点，打在荧光屏正中的M点，O点到荧光屏中心的距离OM=L。电子被加速前的初速度、所受的重力、电子间的相互作用力以及地磁场对电子束的影响均可忽略不计，也不考虑相对论效应及磁场变化所激发的电场对电子束的作用。
图3
(1)求电子束经偏转磁场后打到荧P点时的速率;
(2)若电子束经偏转磁场后速度的偏转角θ=60°，求此种情况下电子穿过磁场时，螺线管线圈中电流I0的大小;
(3)当线圈中通入如图丙所示的电流，其最大值为第(2)问中电流的0.5倍。求电子束打在荧光屏上发光所形成“亮线”的长度。
解析 (1)设经过电子枪中加速电场加速后，电子的速度大小为v
根据动能定理有eU= mv2(2分)
解得v=。(1分)
(2)设电子在磁场中做圆周运动的半径为R，运动轨迹如图所示，根据几何关系有tan =(2分)
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
evB=(2分)
由题知B=μNI0(1
解得I0=。(1分)
(3)设线圈中电流为0.5I0时，偏转角为θ1，此时电子在屏幕上落点距M点最远
此时磁感应强度B1=0.5μNI0=(2分)
轨迹圆半径R1==2R=2r(2分)
tan ===(2分)
电子在屏幕上落点距M点最远距离
y=Ltan θ1=L(2分)
亮线长度Y=2y=L。(2分)
答案 (1) (2) (3)L
