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2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
考点：复数运算
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）8
（B）9
（C）27
（D）36
【答案】B
考点： 程序框图
考点： 函数最值
（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
| 学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 立定跳远（单位：米） | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
| 30秒跳绳（单位：次） | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a−1 | b | 65 |
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则
（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛
（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛
【答案】B
【解析】
试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B.
考点：统计本文导航第1页选择题第2页填空题第3页解答题
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知向量，则a与b夹角的大小为_________.
【答案】
考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合
（10）函数的最大值为_________.
【答案】2
【解析】
试题分析：，即最大值为2.
考点：函数最值,数形结合
（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
【答案】
【解析】
，所以，即．
考点：解三角形
(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
【答案】16 29
【解析】
试题分析：①由于前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出但第二天未售出的有19-3=16种商品.答案
为16．
②第三天售出但第二天未售出的商品共有14种，且有1种商品第一天未售出，当三天售出的商品种数最少时，第三天售出但第二天未售出的14种商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用表示第一、二、三天售出的商品，如图是最少时的情形．故答案为29．
考点： 统计分析本文导航第1页选择题第2页填空题第3页解答题
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设cn= an bn，求数列{cn}的前n项和.
【答案】（Ⅰ）（，，，）；（Ⅱ）.
（II）由（I）知．
考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.
（17）（本小题13分）
某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解；
（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据每个数据用该组区间的右端点值×对应频率即为人均水费估计值进行求解即可.
试题解析：（I）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间，，，，内的频
率依次为，，，，．
考点：频率分布直方图、频率、平均数的估计值.
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，.
（I） 求证：；
（II） （II）求证：；
（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III）取中点，连结，则，根据线面平行判定定理证明平面.
试题解析：（I）因为平面，
所以．
又因为，
所以平面．
考点：空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理；空间想象能力，推理论证能力
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：过A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；学.科网
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析.
令，得，从而．
所以四边形的面积
．
从而四边形的面积为定值．
考点：椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，运算求解能力.
（20）（本小题13分）
设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）见解析.
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点
