一、选择题
1. (2014•山东潍坊，第12题3分)如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换.如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )
A.(—2012,2) B.(一2012，一2) C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
考点：坐标与图形变化-对称;坐标与图形变化-平移.
专题：规律型.
分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是(2，2)，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律.
解答：∵正方形ABCD，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1).∴M的坐标变为(2,2)
∴根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1，-2)，即(1，-2)，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2-2，2)，即(0，2)，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3，-2)，即(-1，-2)，
第2014次变换后的点M的对应点的为坐标为(2-2014， 2)，即(-2012， 2)
故答案为A.
点评：此题考查了对称与平移的性质.此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为(2-n，-2)，当n为偶数时为(2-n，2)是解此题的关键.
2.(2014山东济南，第14题，3分)现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列 ，将其中的每个数换成该数在 中出现的次数，可得到一个新序列.例如序列 ：(4，2，3，4，2)，通过变换可得到新序列 ：(2，2，1，2，2).若 可以为任意序列，则下面的序列可以作为 的是
A.(1，2，1，2，2) B.(2，2，2，3，3)
C.(1，1，2，2，3) D.(1，2，1，1，2)
【解析】由于序列 含5个数，于是新序列中不能有3个2，所以A，B中所给序列不能作为 ; 又如果 中有3，则 中应有3个3，所以C中所给序列也不能作为 ，故选D.
3. ( 2014•广西贺州，第12题3分)张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x (x>0)的最小值是2”.其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2(x );当矩形成为正方形时，就有x=(0>0)，解得x=1，这时矩形的周长2(x )=4最小，因此x (x>0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子 (x>0)的最小值是()
A. 2 B. 1 C. 6 D. 10
考点： 分式的混合运算;完全平方公式.
专题： 计算题.
分析： 根据题意求出所求式子的最小值即可.
解答： 解：得到x>0，得到 =x ≥2 =6，
则原式的最小值为6.
故选C
点评： 此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键.
4. (2014•泰州，第6题，3分)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是()
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
考点： 解直角三角形
专题： 新定义.
分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定;
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定.
解答： 解：A、∵1 2=3，不能构成三角形，故选项错误;
B、∵12 12=( )2，是等腰直角三角形，故选项错误;
C、底边上的高是 = ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误;
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确.
故选：D.
点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念.
二、填空题
1.(2014•四川宜宾，第16题，3分)规定：sin(﹣x)=﹣sinx，cos(﹣x)=cosx，sin(x y)=sinx•cosy cosx•siny.
据此判断下列等式成立的是 ②③④ (写出所有正确的序号)
①cos(﹣60°)=﹣;
②sin75°= ;
③sin2x=2sinx•cosx;
④sin(x﹣y)=sinx•cosy﹣cosx•siny.
考点： 锐角三角函数的定义;特殊角的三角函数值.
专题： 新定义.
分析： 根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断.
解答： 解：①cos(﹣60°)=cos60°=，命题错误;
②sin75°=sin(30° 45°)=sin30°•cos45° cos30°•sin45°=× × = = ，命题正确;
③sin2x=sinx•cosx cosx•sinx═2sinx•cosx，故命题正确;
④sin(x﹣y)=sinx•cos(﹣y) cosx•sin(﹣y)=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确.
故答案是：②③④.
点评： 本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键.
2. (2014•贵州黔西南州, 第20题3分)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(m，n)，规定以下两种变换：
(1)f(m，n)=(m，﹣n)，如f(2，1)=(2，﹣1);
(2)g(m，n)=(﹣m，﹣n)，如g (2，1)=(﹣2，﹣1)x k b 1 . c o m
按照以上变换有：f[g(3，4)]=f(﹣3，﹣4)=(﹣3，4)，那么g[f(﹣3，2)]= (3，2) .
考点： 点的坐标.
专题： 新定义.
分析： 由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化.
解答：x kb 1 解：∵f(﹣3，2)=(﹣3，﹣2)，
∴g[f(﹣3，2)]=g(﹣3，﹣2)=(3，2)，
故答案为(3，2).
点评： 本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号.
三、解答题
1. (2014•四川巴中，第22题5分)定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b 1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4 1=8﹣6 1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围.
考点：新定义.
分析：首先根据运算的定义化简3△x，则可以得到关于x的不等式组，即可求解.
解答：3△x=3x﹣3﹣x 1=2x﹣2，根据题意得： ，解得：
3. (2014•江西抚州，第24题，10分)
【试题背景】已知：∥ ∥ ∥，平行线与 、 与 、 与之间的距离分别为 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、 、 、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.
【探究1】 ⑴ 如图1，正方形 为“格线四边形”， 于点 , 的反向延长线交直线于点 . 求正方形 的边长.
【探究2】 ⑵ 矩形 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 的宽为 . (直接写出结果即可)
【探究3】 ⑶ 如图2，菱形 为“格线四边形”且∠ =60°，△ 是等边三角形， 于点 ， ∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 . 求证： .
【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形 的顶点 、 分别落在直线、上， 于点 ，且 =4 ，∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 ，点 、 分别是线段 、 上的动点，且始终保持 = ， 于点 .
猜想： 在什么范围内， ∥ ?并说明此时 ∥ 的理由.
解析：(1) 如图1，
∵BE⊥l , l ∥k ,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1 ∠2=90°，AB=BC, ∵∠2 ∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,
∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),
∴AE=BF=1 , ∵BE=d1 d2=3 , ∴AB= ,
∴正方形的边长是 .
(2)如图2,3，
⊿ABE∽⊿BCF,
∴ 或
∵BF=d3=1 ,
∴AE= 或
∴AB= 或
AB=
∴矩形ABCD的宽为 或 .
(注意：要分2种情况讨论)
(3)如图4，
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC,
又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,
∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.
(4)如图5，
当21时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;
④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数.
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
考点： 二次函数综合题
分析： ①将(1，0)点代入函数，解出k的值即可作出判断;
②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假;
③根据二次函数的增减性，即可作出判断;
④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.
解答： 解：①真，将(1，0)代入可得：2k﹣(4k 1)﹣k 1=0，
解得：k=0.
运用方程思想;
②假，反例：k=0时，只有两个交点.运用举反例的方法;
③假，如k=1，﹣ =，当x>1时，先减后增;运用举反例的方法;
④真，当k=0时，函数无最大、最小值;
k≠0时，y最= =﹣ ，
∴当k>0时，有最小值，最小值为负;
当k
5. ( ( 2014年河南) 21.10分)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。设购进A掀电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元。
①求y与x的关系式;
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大?
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0
7.(2014•四川宜宾，第21题，8分)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.
(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L.
(2)已知格点多边形的面积可表示为S=N aL b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值.
考点： 规律型：图形的变化类;三元一次方程组的应用
分析： (1)理解题意，观察图形，即可求得结论;
(2)根据格点多边形的面积S=N aL b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S.
解答： 解：(1)观察图形，可得S=3，N=1，L=6;
(Ⅱ)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S、N、L的值可得，
，
解得a ，
∴S=N L﹣1，
将N=82，L=38代入可得S=82 ×38﹣1=100.
点评： 此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题.
8.(2014•甘肃兰州,第27题10分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°.
①求证：△BCE是等边三角形;
②求证：DC2 BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.
考点： 四边形综合题.
分析： (1)根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形;
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解.
解答： 解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可;
证明：(2)①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形;
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED;
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2 CE2=DE2，
∴DC2 BC2=AC2.
点评： 此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目.
9. (2014•扬州，第26题，10分)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)= (其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)= =B.
(1)已知T(1，﹣1)=﹣2，T(4，2)=1.
①求a，b的值;
②若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求实数p的取值范围;
(2)若T(x，y)=T(y，x)对任意实数x，y都成立(这里T(x，y)和T(y，x)均有意义)，则a，b应满足怎样的关系式?
考点： 分式的混合运算;解二元一次方程组;一元一次不等式组的整数解
分析： (1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值;
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可;
(2)由T(x，y)=T(y，x)列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式.
解答： 解：(1)①根据题意得：T(1，﹣1)= =﹣2，即a﹣b=﹣2;
T=(4，2)= =1，即2a b=5，
解得：a=1，b=3;
②根据题意得： ，
由①得：m≥﹣ ;
由②得：m< ，
∴不等式组的解集为﹣ ≤m< ，
∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，
∴2≤
10.(2014•济宁第21题9分)阅读材料：
已知，如图(1)，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形.
∵S=S△OBC S△OAC S△OAB= BC•r AC•r AB•r= (a b c)r.
∴r= .
(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2)，各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r;
(2)理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求 的值.
考点： 圆的综合题.
分析： (1)已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似.仿照证明过程，r易得.
(2)(1)中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果.但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r1、r2、 易得.
解答： 解：(1)如图2，连接OA、OB、OC、OD.
∵S=S△AOB S△BOC S△COD S△AOD= = ，
∴r= .
(2)如图3，过点D作DE⊥AB于E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AE= = =5，
∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16.
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，
∴DE=12，
∴DB= =20.
∵S△ABD= = =126，
S△CDB= = =66，
∴ = = = .
点评： 本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识.这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养.
11. ( 2014•安徽省,第22题12分)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx 2m2 1和y2=ax2 bx 5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1 y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值.
考点： 二次函数的性质;二次函数的最值.菁优网
专题： 新定义.
分析： (1)只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可.
(2)由y1的图象经过点A(1，1)可以求出m的值，然后根据y1 y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题.
解答： 解：(1)设顶点为(h，k)的二次函数的关系式为y=a(x﹣h)2 k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2(x﹣3)2 4.
∵2>0，
∴该二次函数图象的开口向上.
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3(x﹣3)2 4.
∵3>0，
∴该二次函数图象的开口向上.
∵两个函数y=2(x﹣3)2 4与y=3(x﹣3)2 4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2(x﹣3)2 4与y=3(x﹣3)2 4是“同簇二次函数”.
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2(x﹣3)2 4与y=3(x﹣3)2 4.
(2)∵y1的图象经过点A(1，1)，
∴2×12﹣4×m×1 2m2 1=1.
整理得：m2﹣2m 1=0.
解得：m1=m2=1.
∴y1=2x2﹣4x 3
=2(x﹣1)2 1.
∴y1 y2=2x2﹣4x 3 ax2 bx 5
=(a 2)x2 (b﹣4)x 8
∵y1 y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1 y2=(a 2)(x﹣1)2 1
=(a 2)x2﹣2(a 2)x (a 2) 1.
其中a 2>0，即a>﹣2.
∴ .
解得： .
∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x 5.
∴y2=5x2﹣10x 5
=5(x﹣1)2.
∴函数y2的图象的对称轴为x=1.
∵5>0，
∴函数y2的图象开口向上.
①当0≤x≤1时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小.
∴当x=0时，y2取最大值，
最大值为5(0﹣1)2=5.
②当1
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大.
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5(3﹣1)2=20.
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20.
点评： 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质(开口方向、增减性)，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键.
12. ( 2014•珠海，第20题9分)阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x>1，y1，∵y 2>1.∴y>﹣1.
又∵y
