一、非标准
1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
2.若焦点在x轴上的椭圆=1的离心率为,则m等于()
A.1 B.2 C.4 D.-1
3.椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF2的中点在y轴上,那么|PF2|是|PF1|的()
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
4.若椭圆C:=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则F1PF2=()
A. 30° B.60° C.120° D.150°
5.设椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2 bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在()
A.圆x2 y2=2上 B.圆x2 y2=2内
C.圆x2 y2=2外 D.以上三种情况都有可能
6.F1,F2是椭圆=1的左、右两焦点,P为椭圆的一个顶点,若PF1F2是等边三角形,则a2= .
7.已知动点P(x,y)在椭圆=1上,若点A坐标为(3,0),||=1,且=0,则||的最小值是 .
8.求符合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过P(3,0).
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-).
9.
(2014江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.
(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程
(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.
10.已知P是椭圆=1(0b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若PF1F2=30°,则椭圆的离心率为()
A.1/2 B.1/3 C. 1/5D.2/3
13.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 .
14.已知椭圆C:x2 2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.
15.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4.求y0的值.
一、非标准1.A 解析:由题意知a=13,c=5,
则b2=a2-c2=144.
又椭圆的焦点在x轴上,
椭圆方程为=1.
2.B 解析:a2=2,b2=m,∴c2=2-m.
∵e2=.
∴m=.
3.A 解析:设线段PF2的中点为D,
则|OD|=|PF1|,ODPF1,OD⊥x轴,PF1⊥x轴.
|PF1|=.
又|PF1| |PF2|=4,
∴|PF2|=4.
∴|PF2|是|PF1|的7倍.
4.C 解析:由题意得a=3,c=,
则|PF2|=2.
在F2PF1中,由余弦定理可得
cosF2PF1=
=-
又F2PF1∈(0,π),
∴∠F1PF2=.
5.B 解析:由题意知e=
=(x1 x2)2-2x1x2
= 1
=2-b>0),
椭圆过P(3,0),
=1,即a=3.
又2a=3×2b,
b=1,方程为 y2=1.
若焦点在y轴上,
设方程为=1(a>b>0).
椭圆过点P(3,0),
=1,即b=3.
又2a=3×2b,
a=9,方程为=1.
(2)设椭圆的方程为mx2 ny2=1(其中m>0,n>0,且m≠n),
椭圆过两点P1(,1),P2(-,-),
解得
此椭圆的标准方程为=1.
9.解:设椭圆的焦距为2c,
则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),
所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因为点C在椭圆上,
所以=1.解得b2=1.
故所求椭圆的方程为 y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为=1.
解方程组
得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为,直线AB的斜率为-,且F1CAB,
所以=-1.
又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.
故e2=.
因此e=.
10.C 解析:设椭圆右焦点为F2,取PF1的中点M,连接OM,=2,
|OM|=4,△F1PF2中,OM是中位线.
PF2的长等于8,|PF1| |PF2|=2a=10,解得|PF1|=2,故选C.
11.A 解析:设B在x轴上的射影为B0,由题意得,|B0F1|=|F1F2|=,得B0坐标为,即点B横坐标为-.
设直线AB的斜率为k,又直线过点F1(-c,0),
所以直线AB的方程为y=k(x c).
由得(k2 b2)x2 2ck2x k2c2-b2=0,
其两根为-和c,
由根与系数的关系得
解之,得c2=,则b2=1-c2=.
故椭圆方程为x2 y2=1.
12.A 解析:设PF1的中点为M,连接PF2.
因为O为F1F2的中点,所以OM为PF2的中位线.
所以OMPF2,
所以PF2F1=∠MOF1=90°.
因为PF1F2=30°,
所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|
=|PF2|,
由椭圆定义得2a=|PF1| |PF2|
=3|PF2|a=,
2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,
则e=.故选A.
13.-1,即e 1>,(e 1)2>2.
又e
