一、选择题

1.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x) f(x)g′(x)>0且g(3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)(3， ∞)B.(-3,0)(0,3)

C.(-∞，-3)(3， ∞) D.(-∞，-3)(0,3)

答案：D　解题思路：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)=f(x)g(x)为奇函数，当x<0时，h′(x)=f′(x)g(x) f(x)g′(x)>0，所以h(x)在(-∞，0)为单调增函数，h(-3)=-h(3)=0，所以当x<0时，h(x)<0=h(-3)，解得x<-3，当x<0时，h(x)>0，解得-3

二、填空题

7.对于三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.根据这一发现，则函数f(x)=x3-x2 3x-的对称中心为________.

答案：　解题思路：由f(x)=x3-x2 3x-，得f′(x)=x2-x 3，f″(x)=2x-1，由f″(x)=0，解得x=，且f=1，所以此函数的对称中心为.

8.设函数f(x)=(x 1)ln(x 1).若对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，则实数a的取值范围为________.

答案：(-∞，1]　解题思路：令g(x)=(1 x)ln(1 x)-ax，对函数g(x)求导数g′(x)=ln(1 x) 1-a，令g′(x)=0，解得x=ea-1-1.

当a≤1时，对所有x≥0，g′(x)≥0，所以g(x)在[0， ∞)上是增函数.

又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥0，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.

当a>1时，对于0

三、解答题

9.已知函数f(x)=x3-ax 1.

(1)当x=1时，f(x)取得极值，求a的值;

(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;

(3)若对任意mR，直线y=-x m都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围.

解析：(1)因为f′(x)=x2-a，

当x=1时，f(x)取得极值，所以f′(1)=1-a=0，a=1.

又当x(-1,1)时，f′(x)0，

所以f(x)在x=1处取得极小值，即a=1时符合题意.

(2)当a≤0时，f′(x)>0对x(0,1)恒成立，

所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1.

当a>0时，令f′(x)=x2-a=0，

x1=-，x2=，

当00)，

F′(x)=2ax =(x>0).

当a≥0时，恒有F′(x)>0，F(x)在(0， ∞)上是增函数;

当a0，得2ax2 1>0，

解得0.

综上，当a≥0时，F(x)在(0， ∞)上是增函数;

当a1时，g(t)=t-1-ln t>g(1)=0，

即t-1>ln t(t>1).

设h(t)=tln t-(t-1)(t≥1)，

则h′(t)=ln t≥0(t≥1)，

故h(t)在[1， ∞)上是增函数.

当t>1时，h(t)=tln t-(t-1)>h(1)=0，

即t-11).

由知(*)成立，得证.

12.已知函数f(x)=ln x-px 1.

(1)求函数f(x)的极值点;

(2)若对任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围;

(3)证明： … 0，当p≤0时，f′(x)>0， f(x)在(0， ∞)上单调递增，

f(x)无极值点;

当p>0时，令f′(x)=0， x=(0， ∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f′(x) 0 - f(x) 增 极大 减 从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值点x=.

(2)当p≤0时，f(x)在(0， ∞)上单调递增，

所以不可能对任意的x>0，恒有f(x)≤0，

当p>0时，由(1)知在x=处取得极大值f=ln ，此时极大值也是最大值.要使f(x)≤0恒成立，只需f=ln ≤0，解得p≥1，所以p的取值范围是[1， ∞).

(3)证明：令p=1，由(2)知ln x-x 1≤0，

ln x≤x-1，

n∈N，n≥2， 令x=n2，则ln n2≤n2-1，

≤=1-，

…

≤×

=×