1.设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上单调递增，则f(a 1)与f(b 2)的大小关系为________.

解析：由f(x)为偶函数，知b=0，∴f(x)=loga|x|，又f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以0f(b 2).答案：f(a 1)>f(b 2)

2.定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1) f(4) f(7)等于________.

解析：f(x)为奇函数，且x∈R ，所以f(0)=0，由周期为2可知，f(4)=0，f(7)=f(1)，又由f(x 2)=f(x)，令x=-1得f(1)=f(-1)=-f(1)⇒f(1)=0，所以f(1) f(4) f(7)=0.答案：0

3.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________.

解析：因为f(x)满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(-25)=f(-1)，f(80)=f(0)，f(11)=f(3)，又因为f(x)在R 上是奇函数，f(0)=0，得f(80)=f(0)=0，f(-25)=f(-1)=-f(1)，而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)=0，所以-f(1)<0，即f(-25)

答案：f(-25)

4.已知偶函数f(x)在区间[0， ∞)上单调增加，则满足f(2x-1)

解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(|x|)，由f(|2x-1|)

5.(原创题)已知定义在R 上的函数f(x)是偶函数，对x∈R ，f(2 x)=f(2-x)，当f(-3)=-2时，f(2011)的值为________.

解析：因为定义在R 上的函数f(x)是偶函数，所以f(2 x)=f(2-x)=f(x-2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)=f(3 502×4)=f(3)=f(-3)=-2.答案：-2

6.已知函数y=f(x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.(1)证明：f(1) f(4)=0;(2)求y=f(x)，x∈[1,4]的解析式;(3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式.

解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4-5)=f(-1)，

又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=-f(-1)=-f(4)，∴f(1) f(4)=0.

(2)当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>0)，由f(1) f(4)=0，得a(1-2)2-5 a(4-2)2-5=0，∴a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).

(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=0，又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1)，而f(1)=2(1-2)2-5=-3，∴k=-3，∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x，从而当-1≤x<0时，f(x)=-f(-x)=-3x，故-1≤x≤1时，f(x)=-3x.∴当4≤x≤6时，有-1≤x-5≤1，∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x 15.当6

∴f(x)=2-5，　6

7.函数f(x)的定义域为R ，若f(x 1)与f(x-1)都是奇函数，则下列结论正确的是________.

①f(x)是偶函数　②f(x)是奇函数　③f(x)=f(x 2)

④f(x 3)是奇函数

解析：∵f(x 1)与f(x-1)都是奇函数，∴f(-x 1)=-f(x 1)，f(-x-1)=-f(x-1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f(-x-1 4)=-f(x-1 4)，f(-x 3)=-f(x 3)，即f(x 3)是奇函数.答案：④

8.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f(x 2(3))，且f(-2)=f(-1)=-1，f(0)=2，f(1) f(2) … f(2009) f(2010)=________.

解析：f(x)=-f(x 2(3))⇒f(x 3)=f(x)，即周期为3，由f(-2)=f(-1)=-1，f(0)=2，所以f(1)=-1，f(2)=-1，f(3)=2，所以f(1) f(2) … f(2009) f(2010)=f(2008) f(2009) f(2010)=f(1) f(2) f(3)=0.答案：0

9.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1)=1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1) f(2) f(3) … f(2010)=________.

解析：f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(-2 x)=-f(x)，即f(x 2)=-f(x)，所以周期为4，f(1)=1，f(2)=f(0)=0，f(3)=-f(1)=-1，f(4)=0，所以f(1) f(2) f(3) f(4)=0，则f(1) f(2) f(3) … f(2010)=f(4)×502 f(2)=0.答案：0

10.已知函数f(x)是R 上的偶函数，且在(0， ∞)上有f′(x)>0，若f(-1)=0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________.

解析：在(0， ∞)上有f′(x)>0，则在(0， ∞)上f(x)是增函数，在(-∞，0)上是减函数，又f(x)在R 上是偶函数，且f(-1)=0，∴f(1)=0.从而可知x∈(-∞，-1)时，f(x)>0;x∈(-1,0)时，f(x)<0;x∈(0,1)时，f(x)<0;x∈(1， ∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(-∞，-1)∪(0,1)答案：(-∞，-1)∪(0,1).

11.已知函数f(x)是(-∞， ∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x 2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=log2(x 1)，则f(-2009) f(2010)的值为________.

解析：∵f(x)是偶函数，∴f(-2009)=f(2009).∵f(x)在x≥0时f(x 2)=f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(-2009) f(2010)=f(2009) f(2010)=f(1) f(0)=log22 log21=0 1=1.答案：1

12.已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x 2)=-x(1)，若当2

解析：由f(x 2)=-x(1)，可得f(x 4)=f(x)，f(2009.5)=f(502×4 1.5)=f(1.5)=f(-2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)=f(2.5)=2(5).答案：2(5)

13.定义在R 上的函数f(x)在(-∞，a]上是增函数，函数y=f(x a)是偶函数，当x1a，且|x1-a|<|x2-a|时，则f(2a-x1)与f(x2)的大小关系为________.

解析：∵y=f(x a)为偶函数，∴y=f(x a)的图象关于y轴对称，∴y=f(x)的图象关于x=a对称.又∵f(x)在(-∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a， ∞)上是减函数.当x1a，且|x1-a|<|x2-a|时，有a-x1f(x2).答案：f(2a-x1)>f(x2)

14.已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x 1).若f(a)=-2，则实数a=________.

解析：当x≥0时，f(x)=x(x 1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(-a)=2，∴-a(-a 1)=2，∴a=2(舍)或a=-1.答案：-1

15.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1 x2 x3 x4=________.

解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x)，所以f(4-x)=f(x)，因此，函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

16.已知f(x)是R 上的奇函数，且当x∈(-∞，0)时，f(x)=-xlg(2-x)，求f(x)的解析式.

解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0)，∴f(0)=0.当x>0时，-x<0，由已知f(-x)=xlg(2 x)，∴-f(x)=xlg(2 x)，即f(x)=-xlg(2 x)　(x>0).

∴f(x)=.(x<0，)即f(x)=-xlg(2 |x|)(x∈R ).

11.已知函数f(x)，当x，y∈R 时，恒有f(x y)=f(x) f(y).(1)求证：f(x)是奇函数;(2)如果x∈R ，f(x)<0，并且f(1)=-2(1)，试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.

解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.

∵f(x y)=f(x) f(y)，令y=-x，∴f(0)=f(x) f(-x).令x=y=0，∴f(0)=f(0) f(0)，得f(0)=0.∴f(x) f(-x)=0，得f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数.

(2)法一：设x，y∈R ，∵f(x y)=f(x) f(y)，∴f(x y)-f(x)=f(y).

∵x∈R ，f(x)<0，∴f(x y)-f(x)<0，∴f(x y)x，∴f(x)在(0， ∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数，f(0)=0，∴f(x)在(-∞， ∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-2(1)，∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2[f(1) f(2)]=-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1，最小值为-3.

法二：设x1R .则f(x2-x1)=f[x2 (-x1)]=f(x2) f(-x1)=f(x2)-f(x1).∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R 上单调递减.∴f(-2)为最大值，f(6)为最小值.∵f(1)=-2(1)，∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1，f(6)=2f(3)=2[f(1) f(2)]=-3.∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1，最小值为-3.

17.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x 2)=-f(x).

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=2(1)x，求使f(x)=-2(1)在[0,2010]上的所有x的个数.

解：(1)证明：∵f(x 2)=-f(x)，∴f(x 4)=-f(x 2)=-[-f(x)]=f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数.

(2)当0≤x≤1时，f(x)=2(1)x，

设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f(-x)=2(1)(-x)=-2(1)x.∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-2(1)x，即f(x)=2(1)x.故f(x)=2(1)x(-1≤x≤1)

又设1

又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x) 2]=-[-f(-x)]=-f(x)，∴-f(x)=2(1)(x-2)，∴f(x)=-2(1)(x-2)(1

由f(x)=-2(1)，解得x=-1.∵f(x)是以4为周期的周期函数.故f(x)=-2(1)的所有x=4n-1(n∈Z ).令0≤4n-1≤2010，则4(1)≤n≤5024(3)，又∵n∈Z ，∴1≤n≤502(n∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)=-2(1).