一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁UA)∪B等于()
(A)(2,3] (B)(-∞,1]∪(2, ∞)
(C)[1,2) (D)(-∞,0)∪[1, ∞)
2.设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为()
(A)-3 (B)-1 (C)3 (D)1
3.各项不为零的等差数列{an}中,2a3- 2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于()
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
4.已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,若双曲线C的一条渐近线与直线x-y 4=0平行,则双曲线C的离心率为()
(A) (B) (C) (D)2
5.点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点),设=a,=b,则等于()
(A)a-b (B)a b (C)2a-b (D)-2a b
6.设曲线y=sin x(a∈R)上任一点(x,y)处切线斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为()
7.设x,y满足约束条件则的取值范围是()
(A)[1,5] (B)[2,6] (C)[3,10] (D)[3,11]
8.已知函数f(x)=sin(ωx )(ω>0,||<)的最小正周期为4π,且对∀x∈R,有f(x)≤f()成立,则f(x)的一个对称中心坐标是()
(A)(-,0) (B)(-,0) (C)(,0) (D)(,0)
9.如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧视图是直角梯形,则该几何体的体积等于()
(A)12π (B)16π (C)20π (D)24π
10.已知实数a,b,c成等比数列,函数y=(x-2)ex的极小值为b,则ac等于()
(A)-1 (B)-e (C)e2 (D)2
11.已知点A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2 (y-4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M焦点F的距离为a.若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为()
(A)2 (B)2 (C) (D)
12.定义在[0, ∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),对于任意的x≥0,恒有
f′(x)>f(x),a=e3f(2),b=e2f(3),则a,b的大小关系是()
(A)a>b (B)a0,b>0)的右焦点作与x轴垂直的直线l,直线l与双曲线交于A,B两点,与双曲线的渐近线交于C,D两点.若3|AB|=2|CD|,则双曲线的离心率为 .
16.一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧棱长为3,则它的外接球的表面积为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2-sin B·sin C=.
(1)求A;
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图:
分组 频数 频率 [10,15) m p [15,20) 24 n [20,25) 4 0.1 [25,30] 2 0.05 合计 M 1 (1)求出表中M,m,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选两人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
19.(本小题满分12分)直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都等于2,点F是棱BC中点,点E在棱CC1上,且CC1=4CE.
(1)求证:平面B1AF⊥平面EAF;
(2)求点C1到平面AEF的距离.
20.(本小题满分12分)
已知O为坐标原点,P(x,y)为函数y=1 ln x图象上一点,记直线OP的斜率k=f(x).
(1)若函数f(x)在区间(m,m )(m>0)上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数t的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知右焦点为F的椭圆M: =1(a>)与直线y=相交于P,Q两点,且PF⊥QF.
(1)求椭圆M的方程;
(2)O为坐标原点,A,B,C是椭圆M上不同的三点,并且O为△ABC的重心,试探究△ABC的面积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
请考生在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)(选修44:坐标系与参数方程)
将圆x2 y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求经过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标
方程.
23.(本小题满分10分)(选修45:不等式选讲)
已知函数f(x)=|x a| |x-2|.
(1)当a=-4时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.
参考答案
1.D 2.C 3.D 4.D
5.D 取BC中点M,
即=.
则由重心的性质可得=2.
所以 =( )=(-a b).
故 =2=-a b.
所以= =-2a b.
故选D.
6.B g(x)=y′=cos x为偶函数,
所以函数y=x2g(x)也为偶函数,排除选项A,D.
当x=0时,y=x2g(x)=0,排除选项C.
7.D 根据约束条件画出可行域,
因为设k==1 ,
整理得(k-1)x-2y k-3=0,由图得,k>1.
设直线l0:(k-1)x-2y k-3=0,
当直线l0过A(0,4)时,k最大为11,
当直线l0过B(0,0)时,k最小为3.故选D.
8.A 由f(x)=sin (ωx )的最小正周期为4π,得ω=.
因为f(x)≤f()恒成立,
所以f(x)max=f(),
即× = 2kπ(k∈Z),
由||<,得=,
故f(x)=sin(x ).
令x =kπ(k∈Z),
得x=2kπ-(k∈Z),
故f(x)的对称中心为(2kπ-,0)(k∈Z),
当k=0时,f(x)的对称中心为(-,0),故选A.
9.A 由三视图可知r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,
所以V=[(π 16π )×4]×-π×12×4=×21π-2π=12π.故选A.
10.C 因为y=(x-2)ex,
所以y′=ex (x-2)ex=(x-1)ex.
令y′=0,得x=1.
当x<1时,y′<0;
当x>1时,y′>0.
所以y=(x-2)ex在x=1处取得极小值,且极小值为-e.
又实数a,b,c成等比数列,
所以ac=b2=e2.
11.C 因为抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,又|CA| |AF|=2a,所以C,A,F三点共线,且A是线段CF的中点,
因为C(0,4),F(,0),
所以A(,2),则4=2p·⇒p=2,
所以a= =,
因为圆心C到直线OA:y=2x的距离为=,
所以所求的弦长为2=.选C.
12.B 设g(x)=,x∈[0, ∞),
则g′(x)=
=.
因为f′(x)>f(x),
所以g′(x)>0,
所以g(x)在[0, ∞)上是增函数,
所以g(2)0),
所以f′(x)=()′=-(x>0).
当00;
当x>1时,f′(x)<0;
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1, ∞)上单调递减,
故f(x)在x=1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间(m,m )(m>0)上存在极值,
所以得0,从而g′(x)>0,故g(x)在[1, ∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(1)=2>0,
所以实数t的取值范围是(-∞,2].
21.解:(1)设F(c,0),P(t,),
则Q(-t,),
所以 =1,
即t2=a2, ①
因为PF⊥QF,
所以·=-1,
即c2-t2=-, ②
所以由①②得c2-a2=-,
又a2-c2=3,所以a2=4,
所以椭圆M的方程为 =1.
(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB方程为y=kx m.
由
得(3 4k2)x2 8kmx 4m2-12=0,
所以
因为O为重心,
所以=-( )
=(,),
因为C点在椭圆M上,故有 =1,
可得4m2=4k2 3.
而|AB|
=
=,
d==(利用d是O到AB距离的3倍得到),
所以S△ABC=|AB|·d
=
=
=,
当直线AB斜率不存在时,|AB|=3,d=3,S△ABC=.
所以△ABC的面积为定值.
22.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),
依题意得
由 =1得x2 ()2=1,
即曲线C的方程为x2 =1.
C的参数方程为(t为参数).
(2)由
解得或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),
则线段P1P2的中点坐标为(,1),
所求直线的斜率k=,
于是所求直线方程为y-1=x-.
化为极坐标方程,并整理得
2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ=.
23.解:(1)当a=-4时,f(x)≥6,
即|x-4| |x-2|≥6,
即或
或
解得x≤0或x≥6.
所以解集为(-∞,0]∪[6, ∞).
(2)原命题等价于f(x)≤|x-3|在[0,1]上恒成立,
即|x a| 2-x≤3-x在[0,1]上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在[0,1]上恒成立,即-1≤a≤0.
所以实数a的取值范围为[-1,0].
