一、选择题

1.(2016·湖北襄阳期末)设函数f(x)=x3-ax2 x-1在点(1，f(1))处的切线与直线x 2y-3=0垂直，则实数a等于()

A.1 B.2

C.3 D.4

解析：函数f(x)=x3-ax2 x-1的导数为f′(x)=3x2-2ax 1，曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率为4-2a，由切线与直线x 2y-3=0垂直，可得4-2a=2，解得a=1.故选A.

答案：A

2.(2016·辽宁师大附中期中)定积分dx的值为()

A. B.

C.π D.2π

解析：∵y=，∴(x-1)2 y2=1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx=，故选A.

答案：A

3.(2016·河南安阳一中月考)如图是函数y=cos在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是()

A. B.

C. D.-

4.(2016·重庆开县月考一)已知函数f(x)=x2 2ax，g(x)=3a2lnx b，设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈(0， ∞)时，实数b的最大值是()

A.e6 B.e6

C.e D.e

答案：D

5.(2016·安徽马鞍山模拟)在x∈上，函数f(x)=x2 px q与g(x)= 在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是()

A. B.4

C.8 D.

解析：∵g(x)= ，且x∈，则g(x)≥3，当且仅当x=1时，g(x)min=3，当x=-时，f(x)取得最小值f，则-=1，得p=-2，∴f(x)=x2-2x q，

又f(x)min=f(1)=3，∴1-2 q=3，∴q=4，

∴f(x)=x2-2x 4=(x-1)2 3，x∈，∴f(x)max=f(2)=4.

答案：B

6.(2016·重庆一中期中)定义在上的函数f(x)，f ′(x)是它的导函数，且恒有sinx·f ′(x)>cosx·f(x)成立，则()

A.f>f B.f>f

C.f>2f D.ff(x)cosx，

则f ′(x)sinx-f(x)cosx>0，构造函数g(x)=，则g′(x)=，当x∈时，g′(x)>0，即函数g(x)在上单调递增，∴g0时，“不等式ax≤2ex-2 2恒成立”等价于“不等式a≤恒成立”，令f(x)=，则f ′(x)=，令h(x)=2xex-2-2ex-2-2，则f ′(x)与函数h(x)的符号一致，又因为h′(x)=2xex-2>0，所以h(x)在区间(0， ∞)上单调递增，因为h(2)=2×2×e2-2-2×e2-2-2=0，所以在区间(0,2)上，h(x)<0，即f ′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2， ∞)上，h(x)>0，即f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间(2， ∞)上单调递增，所以在区间[0， ∞)，函数f(x)的最小值为f(x)min=f(2)=2，所以a≤2，故选D.

答案：D

二、填空题

8.(2016·广东佛山联考)已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________.

解析：因为y′===，

∵ex e-x≥2=2，∴ex e-x 2≥4，

∴y′∈[-1,0)，即tanα∈[-1,0)，

∵0≤α<π，∴≤α<π.

答案：≤α<π

9.(2016·云南师大附中月考)若函数f(x)=-x3 x2 2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是__________.

解析：f ′(x)=-x2 x 2a=-2 2a.当x∈时，f′(x)的最大值为

f ′=2a ，

令2a >0，解得a>-，所以a的取值范围是.

答案：

10.(2016·河南信阳一模)已知实数a，b满足eb=2a-3，则|2a-b-1|的最小值为__________.

解析：由eb=2a-3，取对数，得b=ln(2a-3)，则2a-3>0.

则|2a-b-1|=|2a-ln(2a-3)-1|=|(2a-3)-ln(2a-3) 2|(*)，

令2a-3=x(x>0)，(*)式化为|x-lnx 2|，

令y=x-lnx 2，则y′=1-，令y′=0，得x=1.

当x∈(0,1)时，y′<0，则函数在(0,1)上为减函数;

当x∈(1， ∞)时，y′>0，则函数在(1， ∞)上为增函数，

∴当x=1时，ymin=1-ln1 2=3，即|2a-b-3|的最小值为3.

答案：3

三、解答题

11.(2016·江西高安二中段考)已知函数f(x)=(x-1)ln(x-1).

(1)设函数g(x)=-a(x-1) f(x)在区间[2，e2 1]上不单调，求实数a的取值范围;

(2)若kZ，且f(x 1) x-k(x-1)>0对x>1恒成立，求k的最大值.

解：(1)g(x)=-a(x-1) (x-1)ln(x-1)，则g′(x)=-a 1 ln(x-1)在(1， ∞)上递增;又g(x)在[2，e2 1]上不单调，等于g′(x)在[2，e2 1]上有零点.由已知，有解得11恒成立.令u(x)=，则u′(x)=，令v(x)=-lnx x-2，v′(x)=1-=.x>1，

v′(x)>0，即v(x)在(1， ∞)上单调递增.又v(3)=-ln3 1<0，v(4)=-2ln2 2>0，

x0∈(3,4)，使得v(x0)=0，即u′(x0)=0，u(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0， ∞)上单调递增.[u(x)]min=u(x0)===x0(3,4)，k<[u(x)]min=x0，又kZ，k的最大值为3.

12.(2016·湖南株洲统一测)设函数f(x)=alnx b(x2-3x 2)，其中a，bR.

(1)若a=b，讨论f(x)极值(用a表示);

(2)当a=1，b=-，函数g(x)=2f(x)-(λ 3)x 2，若x1，x2(x1≠x2)满足g(x1)=g(x2)且x1 x2=2x0，证明：g′(x0)≠0.

解：(1)函数f(x)的定义域为(0， ∞)，a=b，f(x)=alnx a(x2-3x 2)，f ′(x)= a(2x-3)=.a=0时，f(x)=0，所以函数f(x)无极值;当a>0时，f(x)在和(1， ∞)上单调递增，在上单调递减，

f(x)的极大值为f=-aln2 a，f(x)的极小值为f(1)=0;

当a<0时，f(x)在和(1， ∞)上单调递减，在上单调递增，f(x)的极小值为f=-aln2 a，f(x)的极大值为f(1)=0.综上所述：当a=0时，函数f(x)无极值;当a>0时，函数f(x)的极大值为-aln2 a，函数f(x)的极小值为0;当a<0时，函数f(x)的极小值为-aln2 a，函数f(x)的极大值为0.

(2)g(x)=2lnx-x2-λx，g′(x)=-2x-λ.假设结论不成立，则有

由，得2ln-(x-x)-λ(x1-x2)=0，

λ=2-2x0，由，得λ=-2x0，

=，即=，即ln=.令t=，不妨设x10，

u(t)在0