一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.下列各数：π2，0，9，0.23•，cos60°，227，0.030 030 003…，1-2中，无理数有()
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2.在平面直角坐标系中，下面的点在第四象限的是()
A.(1,3) B.(0，-3)
C.(-2，-3) D.(π，-1)
3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
4.形状相同、大小相等的两个小木块放置于桌面，其俯视图如图J21，则其正视图是()
5.如图J22，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△ABC=8，则S△A′B′C′=()
A.9 B.16 C.18 D.24
图J22 图J23
6.已知二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图J23，给出以下结论：
①因为a>0，所以函数y有最大值;
②该函数图象关于直线x=-1对称;
③当x=-2时，函数y的值大于0;
④当x=-3或x=1时，函数y的值都等于0.
其中正确结论的个数是()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7.如图J24，直线l与直线a，b相交.若a∥b，∠1=70°，则∠2的度数是________.
图J24 图J25
8.已知某种型号的纸100张厚度约为1 cm，那么这种型号的纸13亿张厚度约为____________km.
9.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图J25，点C的坐标是(6,0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是________.
10.函数y=1-kx的图象与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)
11.化简：x-1x÷x-2x-1x.
12.如图J26，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40 cm，灯罩BC长为30 cm，底座厚度为2 cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少厘米?(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)
13.已知：关于x的一元二次方程：x2-2mx m2-4=0.
(1)求证：这个方程有两个不相等的实数根;
(2)当抛物线y=x2-2mx m2-4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式.
14.某校为了解本校八年级学生的课外阅读喜好，随机抽取部分该校八年级学生进行问卷调查(每人只选一种书籍)，图J27是整理数据后画的两幅不完整的统计图，请你根据图中的信息，解答下列问题：
(1)这次活动一共调查了________名学生;
(2)在扇形统计图中，“其他”所在的扇形圆心角为________;
(3)补全条形统计图;
(4)若该校八年级有600人，请你估计喜欢“科普常识”的学生有________人.
15.如图J28，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，点D是优弧上的一点，连接BD，AD，OC，∠ADB=30°.
(1)求∠AOC的度数;
(2)若弦BC=6 cm，求图中阴影部分的面积.
三、解答题
11.(2013•茂名)如图，在▱ABCD 中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F.[来
(1)求证：△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC，连接CE.试判断CE和DF的位置关系，并说明理由.
11.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
又∵点F在CB的延长线上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2.
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE.
∵在△ADE与△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解：CE⊥DF.理由如下：
如图，连接CE.
由(1)知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2.
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF.
12.(2013•白银)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.
(1)BD与CD有什么数量关系，并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形?并说明理由.
12.解：(1)BD=CD.
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， ，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD;
(2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形.
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形.
13.(2013•无锡)如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是，请证明;若不是，请举出反例;
( 2)写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明.(命题请写成“如果…，那么….”的形式)
13.(1)以①②作为条件构成的命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ ，
∵AO=OC，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形;
根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，
根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形.
14.(2013•宁波)已知抛物线y=ax2 bx c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.
14.解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3)，
把C(0，-3)代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3)，
即y=-x2 4x-3，
∵y=-x2 4x-3=-(x-2)2 1，
∴顶点坐标(2，1);
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=-x上.
15.(2013•凉山州)先阅读以下材料，然后解答问题：
材料：将二次函数y=-x2 2x 3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变).
解：在抛物线y=-x2 2x 3图象上任取两点A(0，3)、B(1，4)，由题意知：点A向左平移1个单位得到A′(-1，3)，再向下平移2个单位得到A″(-1，1);点B向左平移1个单位得到B′(0，4)，再向下平移2个单位得到B″(0，2).
设平移后的抛物线的解析式为y=-x2 bx c.则点A″(-1，1)，B″(0，2)在抛物线上.可得：
，解得： .所 以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2 2.
根据以上信息解答下列问题：
将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式.
15.解：在直线y=2x-3上任取一点A(0，-3)，由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′(3，-2)，
设平移后的解析式为y=2x b，
则A′(3，-2)在y=2x b的解析式上，
-2=2×3 b，
解得：b=-8，
所以平移后的直线的解析式为y=2x-8.
16.(2013•湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE.
(1)理清思路，完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程.
(2)特殊位置，证明结论
若PB平分∠ABO，其余条件不变.求证：AP=CD.
(3)知识迁移，探索新知
若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)
16.(1)证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
，
∴△BPO≌△PDE(AAS);
(2)证明：由(1)可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠A BP=∠4，]
在△ABP和△CPD中
。
∴△ABP≌△CPD(AAS)，
∴AP=CD.
(3)解：CD′与AP′的数量关系是CD′= AP′.
理由是：如图，
设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO，
则AP=2x x=3x，
由(2)知BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′与AP′的数量关系是CD′= AP′
17.(2013•淄博)分别以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明);
(2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗?若成立，给出证明;若不成立，说明理由.
17.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=C D，∠DAB ∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC ∠CDA ∠ADF=90° ∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-(180°-∠CDA)=90° ∠CDA，X k b 1 . c o m
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD ∠GFA=∠EFA ∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF;
(2)GF⊥EF，GF=EF成立;
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB ∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE ∠FDA ∠EAF ∠ADF ∠FDC=180°，
∴∠EAF ∠CDF=45°，
∵∠CDF ∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF(SAS)，
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD ∠GFA=∠EFA ∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF.
18.(2013•张家界)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE=OF;
(2)若CE=12，CF=5，求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形?并说明理由.
18.(1)证明：如图，[
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF;
(2)∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2 ∠4=∠5 ∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= =13，
∴OC= EF=6.5;
(3)答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形.
19.(2013•衡阳)如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4.
(1)试说明AE2 CF2的值是一个常数;
(2)过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值.
19.解：(1)由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE ∠FBC=∠BCF ∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF，
∴AE2 CF2=BF2 CF2=BC2=16为常数;
(2)设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ ，
即 ，
∴DM= ，
当x=2时，DM有最大值为1.
20.(2013•宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP.已知∠A=60°;
(1)若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值.
(2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系?
[
20.解：(1)如图，延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A= 60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE= x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF= DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE= PE•CF，
即y= × x×(10-x)=- x2 5 x，
配方得：y=- (x-5)2 ，
当x=5时，y有最大值 ，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是 ;
(2)当△CPE≌△CPB 时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM= CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°= ，
∴CM= CD，
∴CE= CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC= AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC= AB.
21.(2013•南平)在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB.设 =k.
(1)证明：△BGF是等腰三角形;
(2)当k为何值时，△BGF是等边三角形?
(3)我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等;反过来，等角所对的边也相等.事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大;反之也成立.
利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围.
21.解：(1)证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°[
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴GF= AE，
在Rt△ABE中，同理可得BG= AE，
∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形;
(2)当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴ =tan∠ACB= ，
∴当k= 时，△BGF为等边三角形;
(3)由(1 )得△BGF为等腰三角形，由(2)得∠BAC= ∠BGF，
∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF1;
当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k= =1;
当△BGF为钝角三角形时，∠BGF>90°，
∴∠BAC>45°[
∴AB
∴k=
22.(2013•德阳)如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P.
(1)求证：PC=PG
(2)点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程;
(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为 时，求弦ED的长.
22.(1)证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG ∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B ∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG;
(2)解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF.理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO： BG，
∴BG2=BO•BF，
∴CG2=BO•BF;
(3)解：连结OE，如图，
由(2)得BG⊥BC，
∴OG= ，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG= =2 ，
由(2)得BG2=BO•BF，
∴BF= =4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF= =2 ，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4 .
23.(2013•泉州)如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A(-6，0)，过点E(-2，0)作EF∥AB，交BO于F;
(1)求EF的长;
(2)过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G;
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明 ;
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆(包括直径两端点)，使它与GD有公共点P.如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明： ，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围(不必说理);
(3)在(2)中，若点M(2， )，探索2PO PM的最小值.
23.(1)解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA= ∠COA=45°.
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E(-2，0)，
∴EF=EO=2.
解法二：∵A(-6，0)，C(0，6)，E(-2，0)，
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴ ，即 ，
∴EF=6× =2.
(2)①画图，如答图1所示：
证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∵EF∥AB，
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH.
由①得： ，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴ = .
通过操作、观察可得，4≤BG≤12.
(3)解：由(2)可得： = ，
∴2OP PM=BG PM.
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG.
∴2OP PM=BG PM=NK PM≥NK KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立.
又∵NK KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立.
∴当点P在线段MN上时，2OP PM的值最小，最小值为8.
24.(2013•梅州)用如图①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.
(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长;
(2)当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数.
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN.在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值?若存在，求出它的最小值;若不存在，请说明理由.
