二次函数
A级 基础题
1.(2013年浙江丽水)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4)，则该图象必经过点()
A.(2,4) B.(-2，-4) C.(-4,2) D.(4，-2)
2.抛物线y=x2 bx c的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4，则b，c的值为()
A.b=2，c=-6 B.b=2，c=0 C.b=-6，c=8 D.b=-6，c=2
3.(2013年浙江宁波)如图3411，二次函数y=ax2 bx c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是()
A.abc<0 B.2a b<0 C.a-b c<0 D.4ac-b2<0
4.(2013年山东聊城)二次函数y=ax2 bx的图象如图3412，那么一次函数y=ax b的图象大致是()
5.(2013年四川内江)若抛物线y=x2-2x c与y轴的交点为(0，-3)，则下列说法不正确的是()
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时，y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(3,0)
6.(2013年江苏徐州)二次函数y=ax2 bx c图象上部分点的坐标满足下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为()
A.(-3，-3) B.(-2，-2) C.(-1，-3) D.(0，-6)
7.(2013年湖北黄石)若关于x的函数y=kx2 2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为__________.
8.(2013年北京)请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式______________.
9.(2013年浙江湖州)已知抛物线y=-x2 bx c经过点A(3,0)，B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
B级 中等题
10.(2013年江苏苏州)已知二次函数y=x2-3x m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2-3x m=0的两实数根是()
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
11.(2013年四川绵阳)二次函数y=ax2 bx c的图象如图3413，给出下列结论：①2a b>0;②b>a>c;③若-1二次函数
1.A
2.B 解析：利用反推法解答， 函数y=(x-1)2-4的顶点坐标为(1，-4)，其向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数y=x2 bx c，又∵1-2=-1，-4 3=-1，∴平移前的函数顶点坐标为(-1，-1)，函数解析式为y=(x 1)2-1，即y=x2 2x，∴b=2，c=0.
3.D 4.C 5.C 6.B
7.k=0或k=-1 8.y=x2 1(答案不唯一)
9.解：(1)∵抛物线y=-x2 bx c经过点A(3,0)，B(-1,0)，
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x 1)，
即y=-x2 2x 3.
(2)∵y=-x2 2x 3=-(x-1)2 4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
10.B 11.①③④
12.解：(1)将点O(0,0)代入，解得m=±1，
二次函数关系式为y=x2 2x或y=x2-2x.
(2)当m=2时，y=x2-4x 3=(x-2)2-1，
∴D(2，-1).当x=0时，y=3，∴C(0,3).
(3)存在.接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求.
由C(0,3)，D(2，-1)求得直线CD为y=-2x 3.
当y=0时，x=32，∴P32，0.
13.解：(1)将M(-2，-2)代入抛物线解析式，得
-2=1a(-2-2)(-2 a)，
解得a=4.
(2)①由(1)，得y=14(x-2)(x 4)，
当y=0时，得0=14(x-2)(x 4)，
解得x1=2，x2=-4.
∵点B在点C的左侧，∴B(-4,0)，C(2,0).
当x=0时，得y=-2，即E(0，-2).
∴S△BCE=12×6×2=6.
②由抛物线解析式y=14(x-2)(x 4)，得对称轴为直线x=-1，
根据C与B关于抛物线对称轴x=-1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求.
设直线BE的解析式为y=kx b，
将B(-4,0)与E(0，-2)代入，得-4k b=0，b=-2，
解得k=-12，b=-2.∴直线BE的解析式为y=-12x-2.
将x=-1代入，得y=12-2=-32，
则点H-1，-32.
14.(1)证明：∵二次函数y=mx2 nx p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，即-n2m=2，
化简，得n 4m=0.
(2)解：∵二次函数y=mx2 nx p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x10时，n=1，m=-14，
∴抛物线解析式为：y=-14x2 x p.
联立抛物线y=-14x2 x p与直线y=x 3解析式得到-14x2 x p=x 3，
化简，得x2-4(p-3)=0.
∵二次函数图象与直线y=x 3仅有一个交点，
∴一元二次方程根的判别式等于0，
即Δ=02 16(p-3)=0，解得p=3.
∴y=-14x2 x 3=-14(x-2)2 4.
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4.
15.解：(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2 4，
此抛物线过点A(0，-5)，
∴-5=a(0-3)2 4，∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2 4，
即y=-x2 6x-5.
(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.
证明：令y=0，即-x2 6x-5=0，得x=1或x=5，
∴B(1,0)，C(5,0).
设切点为E，连接CE，
由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.
∴ABBC=OBCE，即12 524=1CE，
解得CE=426.
∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r=d=426.
又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2，而2>426.
则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.
(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，
∵A(0，-5)，C(5,0)，
∴AC2=50，
AP2=(xp-0)2 (yp 5)2=x2p y2p 10yp 25，CP2=(xp-5)2 (yp-0)2=x2p y2p-10xp 25.
①当∠A=90°时，在Rt△CAP中，
由勾股定理，得AC2 AP2=CP2，
∴50 x2p y2p 10yp 25=x2p y2p-10xp 25，
整理，得xp yp 5=0.
∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2 6x-5上，
∴yp=-x2p 6xp-5.
∴xp (-x2p 6xp-5) 5=0，
解得xp=7或xp=0，∴yp=-12或yp=-5.
∴点P为(7，-12)或(0，-5)(舍去).
②当∠C=90°时，在Rt△ACP中，
由勾股定理，得AC2 CP2=AP2，
∴50 x2p y2p-10xp 25=x2p y2p 10yp 25，
整理，得xp yp-5=0.
∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2 6x-5上，
∴yp=-x2p 6xp-5，
∴xp (-x2p 6xp-5)-5=0，
解得xp=2或xp=5，∴yp=3或yp=0.
∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)
综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，-12)或(2,3).第二部分 空间与图形
