2019年中考数学试卷

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.

(1)求AC、BC的长;

(2)设点P的运动时间为x(秒)，△PBQ的面积为y(cm2)，当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

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(3)当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由;

(4)当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由.

解：(1)设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2 BC2=AB2，

即：(4x)2 (3x)2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm;

(2)①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，

∴，∴QH=x，y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2 8x(0

②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，

∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，

∴，即：，解得：QH′=(14﹣x)，

∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣x)=x2﹣x 42(3