一、选择题

1.(2013·常德市模拟)设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，且m、nα，则“αβ”是“mβ且nβ”的()

A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　m、nα，αβ⇒m∥β且nβ;若mβ，nβ，mα，nα，则当m与n相交时，αβ，否则αβ不成立，故选A.

2.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2 y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()

A.x y-2=0 B.y-1=0

C.x-y=0 D.x 3y-4=0

[答案]　A

[解析]　本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法.

两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时，此时直线与OP垂直(如图所示)，kOP=1，则所求直线斜率为-1.故所求直线方程为y-1=-(x-1)即x y-2=0.

3.(文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2011 a2012>0，a2011·a2012<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是()

A.2011 B.2012

C.4022 D.4023

[答案]　C

[解析]　a2011 a2012>0，a2011·a2012<0，a1>0，

a2011>0，a2012<0，S4022>0，S4023<0，选C.

(理)(2014·郑州市质检)等差数列{an}中的a1、a4027是函数f(x)=x3-4x2 12x 1的极值点，则log2a2014()

A.2 B.3C.4 D.5

[答案]　A

[解析]　f′(x)=x2-8x 12=0则x1=2，x2=6，即a1=2，a4027=6或a1=6，a4027=2，a2014==4

log2a2014=2，故选A.

4.(2014·东北三省三校二模)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意xR都有f′(x)>f(x)成立，则()

A.f(ln2014)<2014f(0)

B.f(ln2014)=2014f(0)

C.f(ln2014)>2014f(0)

D.f(ln2014)与2014f(0)的大小关系不确定

[答案]　C

[解析]　令g(x)=，则

g′(x)==>0，

g(x)为增函数，ln2014>0，g(ln2014)>g(0)，

即>，

f(ln2014)>2014f(0)，故选C.

5.将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()

A.第一列 B.第二列

C.第三列 D.第四列

[答案]　D

[解析]　正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45=4×11 1，故89位于第四列.

6.观察下图：

则第()行的各数之和等于20112.()

A.2010 B.2009

C.1006 D.1005

[答案]　C

[解析]　由题设图知，第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72;…，第n行各数和为(2n-1)2，令2n-1=2011，解得n=1006.

[点评]　观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n行从n开始，有2n-1个数，因此第n行各数的和为n (n 1) (n 2) … (3n-2)==(2n-1)2.

二、填空题

7.(文)(2013·眉山二诊)已知2 =22×，3 =32×，4 =42×，…，若9 =92×(a、b为正整数)，则a b=________.

[答案]　89

[解析]　观察前三式的特点可知，3=22-1,8=32-1,15=42-1，故其一般规律为n =n2×，此式显然对任意nN，n≥2都成立，故当n=9时，此式为9 =81×，a=80，b=9，a b=89.

(理)(2013·陕西理，14)观察下列等式

12=1，

12-22=-3，

12-22 32=6，

12-22 32-42=-10，

……

照此规律，第n个等式可为________.

[答案]　12-22 32-42 … (-1)n 1n2=(-1)n 1·(nN*)

[解析]　观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(-1)n 1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为

(-1)n 1·，所以第n个式子可为12-22 32-42 … (-1)n 1n2=(-1)n 1·(nN*).

8.(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个;11,22,33，…，99,3位对称数有90个，101,111,121，…，191,202，…，999，则2n 1(nN*)位对称数有________个.

[答案]　9×10n

[解析]　易知对称数的位数与个数如表：

位数 2 3 4 5 … 个数 9 90 90 900 … 2n 1倍对称数有9×10n个.

9.(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13=12,13 23=32,13 23 33=62,13 23 33 43=102，…，根据上述规律，第n个等式为______________.

[答案]　13 23 … n3=

[解析]　本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1=1,1 2=3,1 2 3=6,1 2 3 4=10，第n个等式右边是(1 2 3 … n)2，即[]2，

故填13 23 … n3=.

(理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}：，，，，，，，，，，…，根据它的前10项的规律，则a99 a100的值为________.

[答案]

[解析]　由前10项的构成规律知，分子分母和为n 1(nN*)的共有n项，从和为2到和为n 1的最后一项，共有1 2 3 … n=项，当n=13时，=91，n=14时，=105，因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项，a99 a100= =.

三、解答题

10.(文)已知函数f(x)= lnx(aR)，当x=1时，函数y=f(x)取得极小值.

(1)求a的值;

(2)证明：若x(0，)，则f(x)>-x.

[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0， ∞)，

f ′(x)=- =.

x=1时函数y=f(x)取得极小值，

f ′(1)=0，a=1.

当a=1时，在(0,1)内f ′(x)0，

x=1是函数y=f(x)的极小值点，满足题意.

a=1.

(2)证明：f(x)>-x等价于：f(x) x>

令g(x)=f(x) x，则g ′(x)= 1=，

令h(x)=x2 x-1.

h(0)=-1，f(x)>-x.

(理)(2014·沈阳市质检)已知函数f(x)=mx-sinx，g(x)=axcosx-2sinx(a>0).

(1)若函数y=f(x)是(-∞， ∞)上的单调递增函数，求实数m的最小值;

(2)若m=1，且对于任意x[0，]，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围.

[解析]　(1)函数f(x)=mx-sinx在R上单调递增，

f′(x)≥0恒成立，

f′(x)=m-cosx，

m≥cosx，mmin=1.

(2)m=1，函数f(x)=x-sinx，

f(x)≥g(x)，x sinx-axcosx≥0，

对于任意x[0，]，令H(x)=x sinx-axcosx，

则H′(x)=1 cosx-a(cosx-xsinx)=1 (1-a)cosx axsinx.

当1-a≥0时，即00，

H(x)在[0，]上为单调增函数，

H(x)≥H(0)=0符合题意，01时，令h(x)=1 (1-a)cosx axsinx，

于是h′(x)=(2a-1)sinx axcosx，

a>1，2a-1>0，h′(x)≥0，

h(x)在[0，]上为单调增函数，

h(0)≤h(x)≤h()，即2-a≤h(x)≤a 1，

2-a≤H′(x)≤a 1.

()当2-a≥0，即12时，存在x0(0，)，使得当x(0，x0)时，有H′(x)b>0)上斜率为1的弦的中点在直线 =0上，类比上述结论：双曲线-=1(a，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上.

[答案]　-=0

[解析]　椭圆 =1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线 =0上.类比上述结论可知，双曲线-=1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线-=0上.

17.(文)(2013·哈尔滨质检)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数.例如：[1]=1，[2.5]=2.那么[log21] [log22] [log23] [log24] … [log21024]=________.

[答案]　8204

[解析]　依题意，当2k≤na，又a2=x2 xy y2>xy=b2，a>b，c>a>b，

x y >显然成立，