一、选择题

1.(文)(2013·郑州市质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e) lnx，则f′(e)=()

A.1 B.-1

C.-e-1 D.-e

[答案]　C

[解析]　依题意得，f′(x)=2f′(e) ，取x=e得f′(e)=2f′(e) ，由此解得f′(e)=-=-e-1，故选C.

(理)(2013·云南检测)已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3 bx2 cx-34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于-115，则a的值是()

A.- B.

C.2 D.5

[答案]　C

[解析]　依题意得f′(x)=3ax2 2bx c≤0的解集是[-2,3]，于是有3a>0，-2 3=-，-2×3=，

b=-，c=-18a，函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f(3)=27a 9b 3c-34=-115，-a=-81，a=2，故选C.

2.(文)(2014·长春市调研)已知函数f(x)=x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()

A.(-，3) B.(0，-4)

C.(2,3) D. (1，-)

[答案]　D

[解析]　由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)=2x，则过A，B两点的切线斜率k1=2x1，k2=2x2，又切线互相垂直，所以k1k2=-1，即x1x2=-.两条切线方程分别为l1y=2x1x-x，l2y=2x2x-x ，联立得(x1-x2)[2x-(x1 x2)]=0，x1≠x2，x=，代入l1，解得y=x1x2=-，故选D.

(理)在函数y=x3-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()

A.0　 B.1C.2　 D.3

[答案]　A

[解析]　依题意得，y′=3x2-9，令00，b>0)的焦距为2，抛物线y=x2 1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()

A.-=1 B.-=1

C.-y2=1 D. x2-=1

[答案]　C

[解析]　y=x2 1，y′=x，设切点(x0，y0)，则切线方程y-y0=x0(x-x0)，切线过原点，y0=x　，又切点在抛物线上，y0=x 1　，由(1)(2)得x0=±4，=|x0|=，a=2b，代入a2 b2=c2=5中得b2=1，a2=4，双曲线方程为-y2=1.

(理)(2014·吉林市质检)若函数f(x)=2sinx(x[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)=2·( 1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率()

A.1 B.

C. D. 2

[答案]　C

[解析]　f′(x)=2cosx，x[0，π]，f′(x)∈[-2,2]，g′(x)= ≥2，当且仅当x=1时，等号成立，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1= ，2cosx1=2且 =2，x1∈[0，π]，

x1=0，y1=0，x2=1，y2=，kPQ==.

4.(文)(2013·浙江文，8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f ′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()

[答案]　B

[解析]　本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系.

由导数的几何意义可得，y=f(x)在[-1,0]上每一点处的斜率变大，而在[0,1]上则变小，故选B.

(理)(2014·石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为()

[答案]　D

[解析]　A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大→减小→0→增大→减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形;然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.

5.(2014·山西大学附中月考)已知函数f0(x)=xex，f1(x)=f′0(x)，f2(x)=f1′(x) ，…fn(x)=f′n-1(x)(nN*)，则f′2014(0)=()

A.2013 B.2014

C.2015 D.2016

[答案]　C

[解析]　f0(x)=xex，f1(x)=f0′(x)=ex xex，

f2(x)=f1′(x)=2ex xex，…，

fn(x)=fn-1′(x)=nex xex，f2014′(0)=f2015(0)=2015e0 0=2015.

6.(2013·天津文，8)设函数f(x)=ex x-2，g(x)=lnx x2-3，若实数a、b满足f(a)=0，g(b)=0，则()

A.g(a)0，所以f(b)>0>g(a)，故选A.

解法2：f′(x)=ex 1>0，f(x)为增函数，f(0)=-10，且f(a)=0，00，g(x)在(0， ∞)上为增函数，又g(1)=-20，g(b)=0，1f(1)=0，g(a)0，×3m×m-=18，m=8，m=64.

(理)(2014·沈阳市二检)已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)的导函数为f′(x)，且f′(0)=4，则a2 2b2的最小值为________.

[答案]　8

[解析]　f′(x)=(x-a)(x-b) x[(x-a) (x-b)]，f′(0)=ab=4，a2 2b2≥2ab=8，故填8.

8.已知函数f(x)=ax3 ax2-bx b-1在x=1处的切线与x轴平行，若函数f(x)的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是________.

[答案]　(，)

[解析]　依题意得，f ′(1)=0，又f ′(x)=ax2 ax-b，

b=2a，

f ′(x)=ax2 ax-2a=a(x 2)(x-1)，令f ′(x)=0，得x=-2或x=1，

当a=0时，不合题意;

当a>0时，要使图象过四个象限，

只需结合a>0，解得a(，);

当a0，解得a>2或a0时，(x-k)f ′(x) x 1>0，求k的最大值.

[分析]　(1)求函数f(x)的单调区间，需判断f ′(x)的正负，因为含参数a，故需分类讨论;(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题.

[解析]　(1)f(x)的定义域为(-∞， ∞)，f ′(x)=ex-a.

若a≤0，则f ′(x)>0，所以f(x)在(-∞， ∞)上单调递增.

若a>0，则当x(-∞，lna)时，f ′(x)0，

所以，f(x)在(-∞，lna)上单调递减，在(lna， ∞)上单调递增.

(2)由于a=1，所以(x-k)f ′(x) x 1=(x-k)(ex-1) x 1.

故当x>0时，(x-k)f ′(x) x 1>0等价于

k0).

令g(x)= x，则

g′(x)= 1=.

由(1)知，函数h(x)=ex-x-2在(0， ∞)上单调递增.而h(1)0，所以h(x)在(0， ∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0， ∞)存在唯一的零点.设此零点为α，则α(1,2).

当x(0，α)时，g′(x)0.所以g(x)在(0， ∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0，可得eα=α 2，所以g(α)=α 1(2,3).

由于式等价于k0，f(x)在R上单调递增.即f(x)的单调递增区间为(-∞， ∞)，f(x)没有单调递减区间.

(2)当ke2012·f(0)

B.f(1)e2012·f(0)

C.f(1)>e·f(0)，f(2012)0，即F(x)在xR上为增函数，

F(1)>F(0)，F(2012)>F(0)，

即>，>，

f(1)>ef(0)，

f(2012)>e2012f(0).

(理)(2013·浙江苍南求知中学月考)设函数f(x)=x2 bx c(xR)且f ′(x) f(x)>0恒成立，则对a∈(0， ∞)，下面不等式恒成立的是()

A.f(-a)eaf(0)

C.f(a)eaf(0)

[答案]　A

[解析]　令F(x)=f(x)ex，则F′(x)=f ′(x)·ex f(x)·ex=(f ′(x) f(x))ex>0，

F(x)为增函数，对任意a(0， ∞)，有-a(-∞，0)，

F(-a)0a2.

所求概率P==.

(理)(2014·郑州市质检)已知a>1, 且函数y=ax与函数y=logax的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为________.

[答案]　(e，e)

[解析]　设公共点为P(x0，y0)，则点P(x0，y0)为函数y=ax与y=logax的图象的切点，且点P(x0，y0)又在直线y=x上，y′=axlna，ax0lna=1，ax0==logae，又ax0=y0=logax0=logae，x0=e，y0=e.

17.函数f(x)=x2-3x 2lnx，则函数f(x)在[1，e]上的最大值为________，最小值为________.

[答案]　e2-3e 2　2ln2-4

[解析]　由f(x)=x2-3x 2lnx可得，

f ′(x)=x -3==.

当x(1,2)时，f ′(x)0，

f(x)在[2，e]上是增函数.

当x=2时，f(x)min=f(2)=2ln2-4.

又f(1)=-，f(e)=e2-3e 2，

f(e)-f(1)=e2-3e 2-(-)

=(e2-6e 9)=(e-3)2>0，

f(e)>f(1)，

f(x)max=f(e)=e2-3e 2.

综上，函数f(x)在[1，e]上的最大值为e2-3e 2，最小值为2ln2-4.

三、解答题

18.(文)已知函数f(x)=(ax2 bx c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.

(1)求a的取值范围;

(2)设g(x)=f(x)-f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

[解析]　(1)由f(0)=1，f(1)=0得c=1，a b=-1，

则f(x)=[ax2-(a 1)x 1]ex，

f ′(x)=[ax2 (a-1)x-a]ex

依题意须对于任意x(0,1)，有f ′(x)0时，因为二次函数y=ax2 (a-1)x-a的图象开口向上，而f ′(0)=-a0(t>1)，

即lnt>1-(t>1).

令t=1 ，得ln>，

即ln()n 1>lne，

所以()n 1>e，即