一、选择题
1.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.
如图所示，四面体SABC中，·=0，·=0，·=0，，SBA=45°，SBC=60°，M为AB的中点.则BC与平面SAB的夹角为()
A.30° B.60°
C.90° D.75°
3.平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()
A.30° B.60°
C.45° D.120°
4.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN=90°，则PMN的大小是()
A.等于90°
B.小于90°
C.大于90°
D.不确定
5.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()
A.30° B.60°
C.150° D.以上均错
6.正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()
A.30° B.60° C.150° D.90°
二、填空题
7.
如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________.
8.正方形ABCD的边长为a，PA平面ABCD，PA=a，则直线PB与平面PAC所成的角为________.
9.在正三棱柱ABC—A1B1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角为________.
三、解答题
10.
如图所示，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值.
11.
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB=BC=2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.
能力提升
12.
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于M.
(1)求证：平面ABM平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值.
13.已知三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，且AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
(1)证明：CMSN;
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
1.C
2.B [·=0，·=0，⊥，，即SBSC，SASC，又SB∩SA=S，
SC⊥平面SAB，SBC为BC与平面SAB的夹角.又SBC=60°，故BC与平面SAB的夹角为60°.]
3.B
4.A [A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，
则·=( )·
=· ·=0，
MP⊥MN，即PMN=90°.
也可由三垂线定理直接得MPMN.]
5.B [当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余.]
6.A [
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系.
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(-a,0,0)，P.
则=(2a,0,0)，=，=(a，a,0).
设平面PAC的法向量为n，可求得n=(0,1,1)，
则cos〈，n〉===.
〈，n〉=60°，直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.]
7.
解析 不妨设正三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，
则C(0,0,0)，A(，-1,0)，B1(，1,2)，D，
则=，=(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n=(x，y,1)，
由解得n=(-，1,1).
又=，
sin θ=|cos〈，n〉|=.
8.30°
9.
解析 在正三棱柱ABC—A1B1C1中取AC的中点O，OBAC，则OB平面ACC1A1，
BC1O就是BC1与平面AC1的夹角.
以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，B，
C1，
=，=.
cos〈，〉=
===.
〈，〉=，即BC1与平面ACC1A1的夹角为.
10.解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，
则B(3,0,0)，D.
设P(3,0，z)，则=，=(3,0，z).
BD⊥OP，·
=- 4z=0，z=.
P.∵BB′⊥平面AOB，
POB是OP与底面AOB所成的角.
tan∠POB==，
故OP与底面AOB所成角的正切值为.
11.解 由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示).
设AB=1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，
D，S(0,0,1).
=(0,0,1)，
=(-1，-1,1).
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β=90°-θ，
故有sin θ=|cos β|===，
于是cos θ==.
12.(1)证明 依题设，M在以BD为直径的球面上，
则BMPD.
因为PA底面ABCD，AB底面ABCD，
则PAAB.
又ABAD，PA∩AD=A，所以AB平面PAD，
则ABPD，又BM∩AB=B.
因此有PD平面ABM，又PD平面PCD.
所以平面ABM平面PCD.
(2)解
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，
P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，
设平面ABM的一个法向量n=(x，y，z)，
由n，n
可得
令z=-1，则y=1，即n=(0,1，-1).
设所求角为α，则sin α==，
故所求的角的正弦值为.
13.
(1)证明 设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，
N(，0,0)，S(1，，0).
所以=(1，-1，)，=(-，-，0).
因为·=- 0=0，
所以CMSN.
(2)解 =(-，1,0)，
设a=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则
即令x=2，得a=(2,1，-2).
因为|cos〈a，〉|===，所以SN与平面CMN所成的角为45°.
