(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014山东青岛一模)若a,b是任意实数,且a>b,则下列不等式成立的是()
A.a2>b2 B.<1
C.lg (a-b)>0 D.
2.用反证法证明命题:“若a,bN,ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是()
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a能被5整除
3.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=是指数函数(小前提),所以函数y=是增函数(结论)”,上面推理的错误在于()
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错误导致结论错
D.大前提和小前提错误导致结论错
4.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列命题错误的是()
A.若a≥0,b≥0,则
B.若,则a≥0,b≥0
C.若a>0,b>0,且,则a≠b
D.若,且a≠b,则a>0,b>0
6.设x,y,z>0,则三个数()
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
7.若P=,Q=(a≥0),则P,Q的大小关系()
A.P>Q B.P=Q
C.P0,b>0)的最大值为12,则的最小值为()
A. B. C. D.4
12.(2014河南郑州模拟)已知正实数a,b满足a 2b=1,则a2 4b2 的最小值为()
A. B.4 C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上)
13.在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= .
14.观察下列不等式
1 ,
1 ,
1 ,
……
照此规律,第五个不等式为 .
15.(2014福建龙岩模拟)设a,bR,给出下列条件:
①a b>1;②a b=2;③a b>2;④a2 b2>2;⑤ab>1,其中能推出:“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是 .
16.设x,y满足约束条件则z=x 4y的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)已知非零向量ab,求证:.
18.(12分)(2014山东省实验中学高三诊断)记f(x)=ax2-bx c,若不等式f(x)>0的解集为(1,3),试解关于t的不等式f(|t| 8)k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的范围.
20.(12分)一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形,它们完全重合,把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型),为保证所需的磁通量,要求十字应具有4 cm2的面积,问应如何设计十字型宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.
21.(12分)在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n 1)an≥na2n对任意nN*都成立.
(1)求a2的取值范围;
(2)判断数列{an}是不是等比数列,并说明理由.
22.(14分)设函数f(x)=ax-(1 a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.
(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(2)给定常数k(0,1),当1-k≤a≤1 k时,求I长度的最小值.
1.D 解析:01时,y=ax为增函数;当00或a>0,b=0或a>0,b>0.故D错误.
6.C 解析:假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6.又≥2 2 2=6(当且仅当x=y=z时等号成立),与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.另取x=y=z=1,可排除A,B.
7.C 解析:假设P0,b>0)过直线x-y 2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a 6b=12,即2a 3b=6.
则
≥ 2=
.
12.D 解析:因为1=a 2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时,等号成立.
又a2 4b2 ≥2=4ab .
令t=ab,则f(t)=4t 单调递减,
所以f(t)min=f.
此时a=2b=.
13. 解析:平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比,所以.
14.1 解析:先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1 .
15.③ 解析:对于①,a,b均可小于1;对于②,a,b均可等于1;对于④⑤,a,b均可为负数;对于③,若a,b都不大于1,则a b≤2,与③矛盾.故若③成立,则a,b中至少有一个实数大于1.
16.5 解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.
由z=x 4y,得y=-x .
先画出直线y=-x,再平移直线y=-x,当经过点B(1,1)时,z=x 4y取得最大值为5.
17.证明:a⊥b,∴a·b=0.
要证,
只需证|a| |b|≤|a-b|,
两边平方,得|a|2 |b|2 2|a||b|≤2(|a|2 |b|2-2a·b),
只需证|a|2 |b|2-2|a||b|≥0,
即(|a|-|b|)2≥0,显然成立.故原不等式得证.
18.解:由题意知f(x)=a(x-1)(x-3),且a0,得an=2qn-1.
因为数列{an}单调递增,所以q>1.
因为(n 1)an≥na2n对任意nN*都成立,
所以对任意nN*,都有1 ≥qn.①
因为q>1,所以存在n0N*,使得当n≥n0时,qn>2.
因为1 ≤2(nN*).
所以存在n0N*,使得当n≥n0时,qn>1 ,与①矛盾,故假设不成立.
22.解:(1)因为方程ax-(1 a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=.
所以f(x)>0的解集为{x|x1
