一、选择题

1.(2016·广东佛山期中)如图，在ABC中，已知=2，则等于()

A.- 　B.

C. D.-

解析：根据平面向量的运算法则可知：= = = (-)= .故选C.

答案：C

2.(2016·福建南安期中)在ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m， =n，则()

A.m n是定值，定值为2

B.2m n是定值，定值为3

C. 是定值，定值为2

D. 是定值，定值为3

解析：解法一：过点C作CE平行于MN交AB于点E.由=n可得=，==，由BD=DC可得=，==，=m，m=，整理可得 =3.

解法二：M，D，N三点共线，=λ (1-λ).又=m，=n，=λm (1-λ)n.又=，-=-，= .由知λm=，(1-λ)n=. =3，故选D.

答案：D

3.(2015·陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()

A.|a·b|≤|a||b|

B.|a-b|≤||a|-|b||

C.(a b)2=|a b|2

D.(a b)(a-b)=a2-b2

解析：因为|a·b|=||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以A选项正确;当a与b方向相反时，B选项不成立，所以B选项错误;向量平方等于向量模的平方，所以C选项正确;(a b)(a-b)=a2-b2所以D选项正确，故选B.

答案：B

4.(2016·山东淄博期中)已知矩形ABCD中，AB=，BC=1，则·等于()

A.1 B.-1

C. D.2

解析：解法一：如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，C(，1)，D(0,1)，=(，1)，=(，-1)，则·=2-1=1.

解法二：记=a，=b，则a·b=0，|a|=，|b|=1，·=(a b)·(a-b)=a2-b2=2-1=1.故选A.

答案：A

5.(2016·山东德州一中一模)用数学归纳法证明“1 2 22 … 2n 2=2n 3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为()

A.1 B.1 2

C.1 2 22 D.1 2 22 23

解析：当n=1时，左边=1 2 22 23.

答案：D

6.(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()

A.大前提：无限不循环小数是无理数;小前提：π是无理数;结论：π是无限不循环小数

B.大前提：无限不循环小数是无理数;小前提：π是无限不循环小数;结论：π是无理数

C.大前提：π是无限不循环小数;小前提：无限不循环小数是无理数;结论：π是无理数

D.大前提：π是无限不循环小数;小前提：π是无理数;结论：无限不循环小数是无理数

解析：对于A，小前提与结论应互换，错误;对于B，符合演绎推理过程且结论正确;对于C，大前提和小前提颠倒，错误;对于D，大、小前提和结论颠倒，错误.故选B.

答案：B

7.(2016·四川雅安中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S等于()

A.4 B.5

C.6 D.7

解析：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=×2=2，S=2 3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=×2=2，S=2 5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选D.

答案：D

8.(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a，i分别是()

A.a=12，i=3 B.a=12，i=4

C.a=8，i=3 D.a=8，i=4

解析：由程序框图得：第一次运行i=1，a=4;第二次运行i=2，a=8;第三次运行i=3，a=12，满足a被6整除，结束运行，输出a=12，i=3.故选A.

答案：A

9.(2016·安徽江南十校联考)复数在复平面上对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析：==，对应的点在第二象限，故选B.

答案：B

10.(2016·新疆克拉玛依十三中月考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()

A.2 i B.2-i

C.5 i D.5-i

解析：(z-3)(2-i)=5，z-3==2 i，z=5 i，=5-i.故选D.

答案：D

二、填空题

11.(2016·吉林辽源联考)已知向量a=(1-sinθ，1)，b=，且ab，则锐角θ等于__________.

解析：a∥b，(1-sinθ)(1 sinθ)=，cosθ=±.又θ为锐角，θ=45°.

答案：45°

12.(2016·江西高安段考)已知向量a，b满足a b=(5，-10)，a-b=(3,6)，则b在a方向上的投影为__________.

解析：根据a b=(5，-10)，a-b=(3,6)，求得a=(4，-2)，b=(1，-8)，根据投影公式可得b在a方向上的投影为==2.

答案：2

13.(2016·河北南宫一中周测)某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：

小赵说：只要不是B就行;

小张说：B，C，D，E都行;

小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行;

小刘说：除了E之外，其他的都可以.

据此判断，他们四人可以共同看的影片为__________.

解析：根据小赵，小李和小刘的说法可排除B，C，E，剩余A和D，再根据小张的说法可知选D影片.

答案：D

14.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则框图内m的取值范围是__________.

解析：第一次运行：S=2×1，k=2;第二次运行：S=2×1 2×2，k=3;…;当输出结果是8时，此时S=2×1 2×2 … 2×7=56，故m≤56，并且m>2×1 2×2 … 2×6=42.综上可知m的取值范围是(42,56].

答案：(42,56]

15.(2016·黑龙江大庆实验中学期末)化简的结果是__________.

解析：原式==2-i.

答案：2-i

一、选择题

1.(2016·广东深圳调研)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使=成立的充要条件是()

A.a=-b B.a∥b且方向相同

C.a=2b D.ab且|a|=|b|

解析：非零向量a、b使=成立a=ba与b共线且方向相同，故选B.

答案：B

2.(2016·江西南昌一联)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足=，则点P一定为ABC的()

A.AB边中线的中点

B.AB边中线的三等分点(非重心)

C.重心

D.AB边的中点

解析：设AB的中点为M，则 =，=( 2)= ，即3= 2，也就是=2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点.

答案：B

3.(2015·安徽高考)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a b，则下列结论正确的是()

A.|b|=1 B.ab

C.a·b=1 D.(4a b)

解析：如图，由题意，=-=(2a b)-2a=b，则|b|=2，故A错误.因为|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，又·=2a·(2a b)=4|a|2 2a·b=2×2cos60°=2，所以a·b=-1，故B，C错误，设B，C中点为D，则 =2，且，而2=2a (2a b)=4a b，所以(4a b)，故选D.

答案：D

4.(2016·河南南阳期中)已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3 4 5=0，则·的值为()

A.- B.

C.- D.

解析：3 4 5=0，

3 4=-5，92 24· 162=252，A，B，C在圆上，||=||=||=1.代入原式得·=0，·=-(3 4)·(-)=-(3· 42-32-4·)=-.

答案：A

5.(2016·甘肃会宁四中期末)将正整数排列如下：

1

2　3　4

5　6　7　8　9

10　11　12　13　14　15　16

…

则在表中数字2 016出现在()

A.第44行第81列 B.第45行第81列

C.第44行第80列 D.第45行第80列

解析：依题意可知第n行有(2n-1)个数字，前n行的数字个数为1 3 5 … (2n-1)=n2(个)，442=1 936,452=2 025，且1 936<2 016,2 025>2 016，2 016在第45行，又2 025-2 016=9，且第45行有2×45-1=89个数字，2 016在第89-9=80列.故选D.

答案：D

6.(2016·广西钦州调研)如图所示的算法中，令a=tanθ，b=sinθ，c=cosθ，若在集合中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，则θ值所在范围是()

A. B.

C. D.

解析：程序框图的功能是求a，b，c的最大值.输出的结果是sinθ，sinθ最大，

即

解得<θ<π，故选D.

答案：D

7.(2016·广东佛山期中)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据.

观测次数i 观测数据ai 40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是()

A.5 B.6

C.7 D.8

解析：=(40 41 43 43 44 46 47 48)=44，S=(42 32 12 12 02 22 32 42)=7，故选C.

答案：C

8.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z 1所对应的向量正确的是()

解析：由题图可知z=-2 i，所以z 1=-1 i，则复数z 1所对应的向量的坐标为(-1,1)，故A正确.

答案：A

9.(2016·安徽三校联考)已知复数(xR)在复平面内对应的点位于以原点O为圆心，以为半径的圆周上，则x的值为()

A.2 B.1 3i

C.±2 D.±

解析：== i，所以该复数对应的点为，该点在x2 y2=2上，所以2 2=2，解得x=±2，故选C.

答案：C

二、填空题

10.(2016·福建厦门适应性考试)如图，在ABC中，·=0，=3，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若=λ，=μ(λ>0，μ>0)，则λ 2μ的最小值是__________.

解析：= = (-)= .设=x y(x y=1)，则=xλ yμ，则故故λ 2μ=

=

≥=.当且仅当x=y=时，等号成立.故答案为.

答案：

11.(2016·河北衡水期中)已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则·( )=__________.

解析：由P为边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得=( )，·=||·||·cosA=4×4×=8，则·( )=( )2=(2 2 2·)=×(16 16 16)=24.

答案：24

12.(2016·辽宁抚顺月考)已知不等式1 <，1 <，1 <，照此规律总结出第n个不等式为__________.

解析：由已知条件1 <，1 <，1 <，可归纳猜想得出其第n个不等式为1 … <.

答案：1 … <

13.(2013·福建高考)当xR，|x|<1时，有如下表达式：

1 x x2 … xn …=.

两边同时积分得：∫01dx ∫0xdx ∫0x2dx … ∫0xndx …=∫0dx，

从而得到如下等式：

1× ×2 ×3 … ×n 1 …=ln2.

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

C× C×2 C×3 … C×n 1=__________.

解析：由C Cx … Cx2 Cxn=(1 x)n，两边同时积分得，C∫01dx C∫0xdx C∫0x2dx … C∫0xndx=∫0(1 x)ndx，C C2 C3 … Cn 1==n 1-=.

答案：

14.(2016·广西柳州二中月考)阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是S<__________(填一个数字).

解析：由题意知判断框中的条件需在i=4，即S=9时执行此判断框后的“否”，而在i=3，即S=8时执行后面的“是”.

答案：9

15.(2016·湖北枣阳一中月考)定义一种运算如下：=ad-bc，则复数的共轭复数是__________.

解析：复数=3i(1 i)-(-1)×2=-1 3i，其共轭复数为-1-3i.

答案：-1-3i