1.若a>1，b<0，且ab a-b=2，则ab-a-b的值等于________.
解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab a-b)2=a2b a-2b 2=8，∴a2b a-2b=6，∴(ab-a-b)2=a2b a-2b-2=4，∴ab-a-b=-2.答案：-2
2.已知f(x)=ax b的图象如图所示，则f(3)=________.
解析：由图象知f(0)=1 b=-2，∴b=-3.又f(2)=a2-3=0，∴a=，则f(3)=()3-3=3-3.
答案：3-3
3.函数y=(2(1))2x-x2的值域是________.
解析：∵2x-x2=-(x-1)2 1≤1，
∴(2(1))2x-x2≥2(1).答案：[2(1)， ∞)
4.若函数f(x)=ax-x-a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________.
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1， ∞)
5.(原创题)若函数f(x)=ax-1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________.
解析：由题意知a0-1=2(a2-1=0)无解或a2-1=2(a0-1=0)⇒a=.答案：
6.已知定义域为R 的函数f(x)=2x 1 a(-2x b)是奇函数.(1)求a，b的值;
(2)若对任意的t∈R ，不等式f(t2-2t) f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.
解：(1)因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)=0，即2 a(-1 b)=0，解得b=1.
从而有f(x)=2x 1 a(-2x 1).又由f(1)=-f(-1)知4 a(-2 1)=-1 a( 1)，解得a=2.
(2)法一：由(1)知f(x)=2x 1 2(-2x 1)=-2(1) 2x 1(1)，
由上式易知f(x)在R 上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t) f(2t2-k)<0⇔f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2 k).
因f(x)是R 上的减函数，由上式推得t2-2t>-2t2 k.
即对一切t∈R 有3t2-2t-k>0，从而Δ=4 12k<0，解得k<-3(1).
法二：由(1)知f(x)=2x 1 2(-2x 1)，又由题设条件得2t2-2t 1 2(-2t2-2t 1) 22t2-k 1 2(-22t2-k 1)<0
即(22t2-k 1 2)(-2t2-2t 1) (2t2-2t 1 2)(-22t2-k 1)<0
整理得23t2-2t-k>1，因底数2>1，故3t2-2t-k>0
上式对一切t∈R 均成立，从而判别式Δ=4 12k<0，解得k<-3(1).
7.如果函数f(x)=ax b-1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________.
①00 ②01且b<0 ④a>1且b>0
解析：当0
8.若f(x)=-x2 2ax与g(x)=(a 1)1-x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________.
解析：f(x)=-x2 2ax=-(x-a)2 a2，所以f(x)在[a， ∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需a 1>1(a≤1)⇒0
9.已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x)=ax·g(x)(a>0，a≠1);②g(x)≠0;若1(1) -1(-1)=2(5)，则a等于________.
解析：由f(x)=ax·g(x)得x(x)=ax，所以1(1) -1(-1)=2(5)⇒a a-1=2(5)，解得a=2或2(1).答案：2或2(1)
10.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，其反函数为f-1(x).若f(2)=9，则f-1(3(1)) f(1)的值是________.
解析：因为f(2)=a2=9，且a>0，∴a=3，则f(x)=3x=3(1)，∴x=-1，
故f-1(3(1))=-1.又f(1)=3，所以f-1(3(1)) f(1)=2.答案：2
11.已知f(x)=(3(1))x，若f(x)的图象关于直线x=1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________.
解析：设y=g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x=1的对称点P′(2-x，y)在f(x)=(3(1))x上，∴y=(3(1))2-x=3x-2.答案：y=3x-2(x∈R )
12.函数y=ex-e-x(ex e-x)的图象大致为________.
解析：∵f(-x)=e-x-ex(e-x ex)=-ex-e-x(ex e-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④.
又∵y=ex-e-x(ex e-x)=e2x-1(e2x 1)=e2x-1(e2x-1 2)=1 e2x-1(2)在(-∞，0)、(0， ∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①
13.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=(2(1))x;当x<4时，f(x)=f(x 1)，则f(2 log23)=________.
解析：∵2<3<4=22，∴1
=f(3 log23)=f(log224)=(2(1))log224=2-log224=2log224(1)=24(1).答案：24(1)
14.设函数y=f(x)在(-∞， ∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=>K.(x≤K，)取函数f(x)=2-|x|，当K=2(1)时，函数fK(x)的单调递增区间为________.
解析：由f(x)=2-|x|≤2(1)得x≥1或x≤-1，∴fK(x)=，-1
则单调增区间为(-∞，-1].答案：(-∞，-1]
15.函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b=g(a)的图象可以是________.
解析：函数y=2|x|的图象如图.
当a=-4时，0≤b≤4，
当b=4时，-4≤a≤0，答案：②
16.已知函数f(x)=a2x 2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求实数a的值.
解：f(x)=a2x 2ax-1=(ax 1)2-2，∵x∈[-1,1]，
(1)当0
∴(a(1) 1)2-2=14，∴a(1)=3，∴a=3(1).
(2)当a>1时，a(1)≤ax≤a，∴当ax=a时，f(x)取得最大值.
∴(a 1)2-2=14，∴a=3.综上可知，实数a的值为3(1)或3.
17.已知函数f(x)=2x-a 1(-2).(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，-1)对称;
(2)若f(x)≥-2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y=-2x-a 1(2)，
P(x，y)关于点M(a，-1)的对称点为P′(2a-x，-2-y).
∴-2-y=-2 2x-a 1(2)=2x-a 1(-2·2x-a)=x-a(-2)=-a 1(-2)，
说明点P′(2a-x，-2-y)也在函数y=2x-a 1(-2)的图象上，由点P的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，-1)对称.
(2)由f(x)≥-2x得2x-a 1(-2)≥-2x，则2x-a 1(2)≤2x，化为2x-a·2x 2x-2≥0，则有(2x)2 2a·2x-2·2a≥0在x≥a上恒成立.令g(t)=t2 2a·t-2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立.∵g(t)的对称轴在t=0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数.
∴g(2a)≥0.∴(2a)2 (2a)2-2·2a≥0，∴2a(2a-1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.
18.若f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2·3|x-p2|，x∈R ，p1、p2为常数，且
f(x)=.(x，)(1)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示);(2)设a，b是两个实数，满足a
解：(1)f(x)=f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x-p1|≤2·3|x-p2|⇔3|x-p1|-|x-p2|≤2
⇔|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若p1=p2，则(*)⇔0≤log32，显然成立;若p1≠p2，记g(x)=|x-p1|-|x-p2|，当p1>p2时，g(x)=p2-p1，x>p1.(-2x p1 p2，p2≤x≤p1，)
所以g(x)max=p1-p2，故只需p1-p2≤log32.
当p1p2.(2x-p1-p2，p1≤x≤p2;)所以g(x)max=p2-p1，故只需p2-p1≤log32.
综上所述，f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1-p2|≤log32.
(2)证明：分两种情形讨论.
①当|p1-p2|≤log32时，由(1)知f(x)=f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)=f(b)及a
②当|p1-p2|>log32时，不妨设p1log32.于是，当x≤p1时，有f1(x)=3p1-x<3p2-x
当x≥p2时，f1(x)=3x-p1=3p2-p1·3x-p2>3log32·3x-p2=f2(x)，从而f(x)=f2(x).
当p1
显然p1
由①易知f(x)=，x0
综上可知，在区间[a，b]上，f(x)=，x0
故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0-p1) (b-p2)，由于f(a)=f(b)，即3p1-a=2·3b-p2，得
p1 p2=a b log32.②
故由①②得(x0-p1) (b-p2)=b-2(1)(p1 p2-log32)=2(b-a).
综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为2(b-a).
